Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{d}
\]

dẫn đến

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}
\]

với \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\) là các số dương và \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\), chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Chứng minh rằng \(\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d}\)

Đầu tiên, giả sử \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\). Ta có:

\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{d}
\]

Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d}
\]

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh chéo. Xét:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d}
\]

Nhân chéo để so sánh:

\[
a(b + d) < b(a + c)
\]

Tính toán:

\[
ab + ad < ba + bc
\]

\[
ad < bc
\]

Điều này đúng vì \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) tương đương với \(ad < bc\), vì vậy bất đẳng thức trên đã được chứng minh.

### 2. Chứng minh rằng \(\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}\)

Tiếp theo, ta cần chứng minh:

\[
\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}
\]

Tương tự, ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh chéo. Xét:

\[
\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}
\]

Nhân chéo để so sánh:

\[
(a + c)d < c(b + d)
\]

Tính toán:

\[
ad + cd < cb + cd
\]

\[
ad < cb
\]

Điều này cũng đúng vì \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) tương đương với \(ad < bc\), và chúng ta đã chứng minh được rằng điều này xảy ra.

### Kết luận

Với các chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}
\]

với các số dương \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\) sao cho \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{d}
\]

dẫn đến

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}
\]

với \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\) là các số dương và \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\), chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Chứng minh rằng \(\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d}\)

Đầu tiên, giả sử \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\). Ta có:

\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{d}
\]

Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d}
\]

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh chéo. Xét:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d}
\]

Nhân chéo để so sánh:

\[
a(b + d) < b(a + c)
\]

Tính toán:

\[
ab + ad < ba + bc
\]

\[
ad < bc
\]

Điều này đúng vì \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) tương đương với \(ad < bc\), vì vậy bất đẳng thức trên đã được chứng minh.

### 2. Chứng minh rằng \(\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}\)

Tiếp theo, ta cần chứng minh:

\[
\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}
\]

Tương tự, ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh chéo. Xét:

\[
\frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}
\]

Nhân chéo để so sánh:

\[
(a + c)d < c(b + d)
\]

Tính toán:

\[
ad + cd < cb + cd
\]

\[
ad < cb
\]

Điều này cũng đúng vì \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) tương đương với \(ad < bc\), và chúng ta đã chứng minh được rằng điều này xảy ra.

### Kết luận

Với các chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}
\]

với các số dương \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\) sao cho \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).

2 câu trả lời 305

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9