Để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất mà \(x\) và \(y\) cùng dương:

\[
\begin{cases}
3x - 2y = 1 \\
mx + y = 1
\end{cases}
\]

Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình có dạng:

\[
\frac{3}{m} \neq \frac{-2}{1}
\]

Suy ra: \(3 \neq -2m\), tức là \(m \neq -\frac{3}{2}\).

Vậy, với \(m \neq -\frac{3}{2}\), hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất.

Bước 2: Tìm nghiệm của hệ phương trình:

Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ta nhân phương trình thứ hai với 2:

\[
2mx + 2y = 2
\]

Cộng với phương trình đầu tiên:

\[
3x - 2y + 2mx + 2y = 1 + 2
\]

Suy ra:

\[
(3 + 2m)x = 3
\]

\[
x = \frac{3}{3 + 2m}
\]

Thế giá trị của \(x\) vào phương trình thứ hai:

\[
m\left(\frac{3}{3 + 2m}\right) + y = 1
\]

\[
y = 1 - \frac{3m}{3 + 2m} = \frac{3 + 2m - 3m}{3 + 2m} = \frac{3 - m}{3 + 2m}
\]

Bước 3: Điều kiện để \(x > 0\) và \(y > 0\):

- \(x > 0\) khi \(\frac{3}{3 + 2m} > 0\) (luôn đúng khi \(m \neq -\frac{3}{2}\)).
- \(y > 0\) khi \(\frac{3 - m}{3 + 2m} > 0\).

Điều kiện này xảy ra khi \(m < 3\) và \(m > -\frac{3}{2}\).

Vậy \(m\) cần phải thỏa mãn:

\[
-\frac{3}{2} < m < 3
\]

Kết luận: Giá trị của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà \(x\) và \(y\) cùng dương là \(-\frac{3}{2} < m < 3\).

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình

\[
\begin{cases}
3x - 2y = 1 \\
mx + y = 1
\end{cases}
\]

có nghiệm duy nhất mà \( x \) và \( y \) đều dương, ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Giải Hệ Phương Trình

Đầu tiên, chúng ta giải hệ phương trình để tìm điều kiện cho \( m \).

**Bước 1: Biến đổi hệ phương trình**

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
y = 1 - mx
\]

Thay \( y \) vào phương trình thứ nhất:

\[
3x - 2(1 - mx) = 1
\]

Rút gọn phương trình này:

\[
3x - 2 + 2mx = 1
\]
\[
3x + 2mx = 3
\]
\[
x(3 + 2m) = 3
\]
\[
x = \frac{3}{3 + 2m}
\]

Thay \( x \) vào \( y = 1 - mx \):

\[
y = 1 - m \left(\frac{3}{3 + 2m}\right)
\]
\[
y = \frac{3 + 2m - 3m}{3 + 2m}
\]
\[
y = \frac{3 - m}{3 + 2m}
\]

### 2. Đảm Bảo \( x \) và \( y \) Đều Dương

Để \( x \) và \( y \) đều dương, ta cần:

- \( x > 0 \)
- \( y > 0 \)

**Điều kiện cho \( x > 0 \):**

\[
\frac{3}{3 + 2m} > 0
\]

Điều này đúng nếu \( 3 + 2m > 0 \), tức là:

\[
2m > -3
\]
\[
m > -\frac{3}{2}
\]

**Điều kiện cho \( y > 0 \):**

\[
\frac{3 - m}{3 + 2m} > 0
\]

Điều này xảy ra khi tử số và mẫu số cùng dấu:

1. **Tử số dương và mẫu số dương:**

\[
3 - m > 0 \quad \text{và} \quad 3 + 2m > 0
\]
\[
m < 3 \quad \text{và} \quad m > -\frac{3}{2}
\]

2. **Tử số âm và mẫu số âm:**

\[
3 - m < 0 \quad \text{và} \quad 3 + 2m < 0
\]
\[
m > 3 \quad \text{và} \quad m < -\frac{3}{2}
\]

Nhưng điều kiện \( m < -\frac{3}{2} \) không thể đồng thời với \( m > 3 \). Do đó, chúng ta chỉ cần xét trường hợp tử số và mẫu số cùng dấu.

**Tổng hợp điều kiện:**

Kết hợp các điều kiện:

\[
-\frac{3}{2} < m < 3
\]

### Kết Luận

Giá trị của \( m \) để hệ phương trình

\[
\begin{cases}
3x - 2y = 1 \\
mx + y = 1
\end{cases}
\]

có nghiệm duy nhất với \( x \) và \( y \) đều dương là trong khoảng:

\[
-\frac{3}{2} < m < 3
\]