Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần như sau:

### A. Đường tròn (A) bán kính AH tiếp xúc với BC

Đường tròn (A) có bán kính bằng đường cao AH từ đỉnh A của tam giác vuông ABC. Để chứng minh BC tiếp xúc với (A), ta cần chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (A).

1. **Xét tam giác vuông ABC**: Gọi H là chân đường cao từ A hạ xuống BC.
2. **Đường tròn (A)**: Đường tròn (A) có bán kính AH và tâm tại A.
3. **Tính chất tiếp tuyến**: Trong tam giác vuông, đường cao từ đỉnh góc vuông là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Điều này đồng nghĩa với việc đường tròn (A) có bán kính AH, và BC sẽ là tiếp tuyến của đường tròn này vì đường tròn tiếp xúc với cạnh BC tại H, do AH là đường cao từ A.

Vậy BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.

### B. BN và CM là hai tiếp tuyến của (A)

Để chứng minh BN và CM là các tiếp tuyến của đường tròn (A), ta cần chứng minh hai đoạn BN và CM vuông góc với bán kính tại các điểm tiếp xúc.

1. **Điểm đối xứng M và N**: Theo bài toán, M và N là các điểm đối xứng của H qua AB và AC tương ứng.
2. **Tính chất đối xứng**: Do H đối xứng qua AB là M và qua AC là N, thì BM và CN sẽ vuông góc với AH.
3. **Tiếp tuyến**: Trong tam giác vuông, BN và CM là hai tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp vì chúng đều vuông góc với bán kính AH (do đây là các điểm đối xứng qua các đường vuông góc với đường cao).

Vậy BN và CM là hai tiếp tuyến của (A).

### C. MN là đường kính của (A)

Để chứng minh MN là đường kính của đường tròn (A), ta cần chứng minh rằng MN đi qua tâm của đường tròn và có độ dài gấp đôi bán kính.

1. **Tâm của đường tròn**: Tâm của đường tròn (A) là điểm A.
2. **Đối xứng**: Vì M và N là các điểm đối xứng của H qua AB và AC, MN sẽ là đường nối giữa hai điểm đối xứng qua đường cao, và đường cao là bán kính đường tròn (A).

Do đó, MN là đường kính của đường tròn (A) vì nó nối hai điểm đối xứng qua bán kính.

### D. Tính diện tích tứ giác BMNC

Để tính diện tích của tứ giác BMNC, ta sẽ sử dụng các thông tin cho sẵn:

1. **Cạnh tam giác vuông**:
- HB = 2 cm
- HC = 4,5 cm
- Đường cao AH từ A xuống BC.

2. **Tính bán kính**: Bán kính của đường tròn (A) là AH. Trong tam giác vuông ABC, theo định lý Pythagoras:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Và tổng chiều dài của BC bằng HB + HC = 2 cm + 4,5 cm = 6,5 cm.

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{6,5}
\]

3. **Diện tích tứ giác BMNC**: Tứ giác BMNC có thể chia thành hai tam giác vuông BMN và C MN, với mỗi tam giác đều có chiều cao bằng bán kính AH. Ta sử dụng diện tích của tứ giác này:

\[
\text{Diện tích BMNC} = \text{Diện tích của BMN} + \text{Diện tích của C MN}
\]

Trong trường hợp này, diện tích BMNC có thể tính theo công thức:
\[
\text{Diện tích BMNC} = 2 \times (HB \times HC) = 2 \times (2 \times 4,5) = 18 \text{ cm}^2
\]

Tóm lại, diện tích của tứ giác BMNC là \(18 \text{ cm}^2\).

Để giải bài toán về tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết các phần của bài toán:

### A. Chứng minh BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH

Đường tròn (A) có bán kính là AH và tâm là A. Vì H là điểm trên BC, và AH là đường cao, do đó, AH vuông góc với BC. Theo định lý về tiếp tuyến, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại một điểm trên đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến với đường tròn. Do đó, BC tiếp xúc với đường tròn (A).

### B. Chứng minh BN và CM là hai tiếp tuyến của (A)

Theo giả thiết, M và N là các điểm đối xứng với H qua AB và AC.

- **Đối xứng H qua AB**: Gọi H' là điểm đối xứng với H qua AB. Khi đó, đường thẳng AH' cũng vuông góc với AB (vì H và H' đối xứng qua AB).
- **Đối xứng H qua AC**: Gọi H'' là điểm đối xứng với H qua AC. Tương tự, đường thẳng AH'' vuông góc với AC.

Vì đường thẳng AH vuông góc với BC, và H nằm trong đoạn BC, ta có:

- BX là đoạn vuông góc từ H đến BC (diện tích của tứ giác BMNC)
- Tương tự cho đoạn HC.

Khi đó, BN và CM cũng vuông góc với AH (vì AH là đường cao), và do đó, cả BN và CM đều là đường tiếp tuyến của đường tròn (A).

### C. Chứng minh MN là một đường kính của (A)

Để chứng minh MN là một đường kính của (A), ta cần chứng minh rằng điểm M và N nằm trên đường tròn và đoạn MN đi qua tâm A.

Bởi vì M và N là đối xứng với H qua hai cạnh AB và AC, mà AH là đường cao, M và N đều nằm trên đường tròn (A) với bán kính AH. Do đó, MN sẽ là đường kính của đường tròn (A).

### D. Tính diện tích tứ giác BMNC

Diện tích tứ giác BMNC có thể được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times (HB + HC) \times AH
\]

Với HB = 2 cm, HC = 4.5 cm:

- Tổng chiều cao: \( HB + HC = 2 + 4.5 = 6.5 \, cm \)

Bây giờ, để tính diện tích, ta sẽ cần biết chiều cao AH. Như đã đoàn ra, AH là bán kính của đường tròn (A), chúng ta đã biết rằng nó là đoạn cao của tam giác:

- Diện tích \( S \) trở thành:

\[
S = \frac{1}{2} \times 6.5 \times AH
\]

Chúng ta không có thông tin cụ thể về AH. Nhưng nếu cao AH đã tính được chính xác từ các chiều cao thi rút gọn về mặt vuông góc có thể tìm chiều cao. Kết quả cuối cùng sẽ là của tam giác.

Do đó, diện tích tứ giác BMNC là một nửa đoạn thẳng từ tứ giác.

Hy vọng phần trình bày này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh và tính diện tích của tứ giác BMNC trong tam giác vuông ABC.