Để rút gọn các biểu thức dưới đây, ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đại số và lượng giác. Dưới đây là các bước chi tiết:

### 1. Rút gọn biểu thức \( \sqrt{2} + \sqrt{1} + \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{100} + \sqrt{99} \)

Biểu thức này là một chuỗi số căn bậc hai với các số từ 1 đến 100. Để rút gọn, ta nhóm các số căn bậc hai giống nhau:

\[
\sqrt{2} + \sqrt{1} + \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{100} + \sqrt{99}
\]

Nhóm các số căn bậc hai giống nhau:

- Số \( \sqrt{1} \) xuất hiện 1 lần.
- Số \( \sqrt{2} \) xuất hiện 2 lần.
- Số \( \sqrt{3} \) xuất hiện 2 lần.
- Số \( \sqrt{4} \) xuất hiện 2 lần.
- ...
- Số \( \sqrt{99} \) xuất hiện 1 lần.
- Số \( \sqrt{100} \) xuất hiện 1 lần.

Như vậy, tổng của các biểu thức giống nhau là:

\[
\sqrt{1} + 2(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \cdots + \sqrt{99}) + \sqrt{100}
\]

Tính tổng của tất cả các căn bậc hai từ \(1\) đến \(100\):

\[
S = \sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{100}
\]

Rút gọn biểu thức bằng cách cộng lại:

\[
S = 1 + 2 \left(\sum_{k=2}^{99} \sqrt{k}\right) + 10
\]

### 2. Rút gọn biểu thức \( \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \)

Để rút gọn, ta xử lý từng phần:

#### Phần 1: \( \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} \)

Tính bình phương của \( (2 - \sqrt{3}) \):

\[
(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2
\]
\[
= 4 - 4\sqrt{3} + 3
\]
\[
= 7 - 4\sqrt{3}
\]

Vậy:

\[
\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|
\]

Vì \(2 > \sqrt{3}\), nên \( |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} \).

#### Phần 2: \( \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \)

Viết biểu thức dưới dạng bình phương của một biểu thức lượng giác. Tìm \(a\) và \(b\) sao cho:

\[
\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}
\]

Ta tìm \(a\) và \(b\):

\[
4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{2} + \sqrt{1})^2
\]

Vậy:

\[
\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1
\]

#### Kết hợp kết quả:

\[
\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}
\]
\[
= 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1
\]
\[
= 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1
\]
\[
= 2 + 1
\]
\[
= 3
\]

### Kết luận:

1. Biểu thức \( \sqrt{2} + \sqrt{1} + \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{3} + \cdots + \sqrt{100} + \sqrt{99} \) cần được tính tổng để có giá trị cụ thể, trong đó có sự lặp lại.

2. Biểu thức \( \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \) rút gọn là \( \boxed{3} \).

Chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức một.

**1). Rút gọn \( \sqrt{2} + \sqrt{1} + \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{100} + \sqrt{99} \)**

Biểu thức này có vẻ giống với việc tính tổng các giá trị \( \sqrt{n} \) cho \( n \) từ 1 đến 100 với một cụ thể hóa. Chúng ta hãy xem xét từng phần trong chuỗi này:

- Các số hạng lặp lại là:
- \( \sqrt{2} \) xuất hiện 2 lần,
- \( \sqrt{3} \) xuất hiện 2 lần,
- \( \sqrt{4} \) xuất hiện 1 lần,
- Từ \( \sqrt{5} \) đến \( \sqrt{99} \) đều xuất hiện 1 lần,
- \( \sqrt{100} \) xuất hiện 1 lần.

Chúng ta có nhiều số hạng lẻ chứ không phải tất cả đều xuất hiện 2 lần. Số hạng từ 2 đến 99 bắt đầu từ lặp lại ở khu vực \( \sqrt{2} \) và \( \sqrt{3} \).

Do đó, cho từ \( \sqrt{1} \) đến \( \sqrt{100} \):
- Tính số xuất hiện đơn: \( 1, 4, 100 \)
- Tính số xuất hiện đôi: Các số nguyên từ 2 đến 99.

Tổng số hạng là:
\[
\sqrt{1} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 1\sqrt{4} + 1\sqrt{5} + \ldots + 1\sqrt{100}.
\]
Tổng cộng:

\[
= 1 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sum_{n=4}^{100} \sqrt{n}.
\]

Chúng ta cứ để nguyên đến mức tổng \( \sqrt{1} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sum_{n=4}^{100} \sqrt{n} \).

**2). Rút gọn \( \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(4 + 2\sqrt{3})} \)**

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần trong biểu thức này.

**Phần 1**:

\[
\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|.
\]

Vì \( 2 > \sqrt{3} \approx 1.732 \), nên \( 2 - \sqrt{3} > 0 \). Vậy:

\[
\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}.
\]

**Phần 2**:

Chúng ta sẽ tính \( \sqrt{(4 + 2\sqrt{3})} \). Ta chữa từ bên trong như sau:

\[
4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2
\]

Và ta biết rằng:

\[
\sqrt{4} = 2 = \sqrt{a} + \sqrt{b}.
\]

Thực ra, với \( a=3 \) và \( b=1 \):

\[
\sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}.
\]

### Kết luận

Kết hợp lại:

\[
\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(4 + 2\sqrt{3})} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}).
\]

Như vậy tổng cộng là:

\[
= 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4.
\]

Tóm lại:
1. Biểu thức \(\sqrt{2} + \sqrt{1} + \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{100} + \sqrt{99}\) sẽ cần đánh giá thêm.
2. Kết quả cho biểu thức thứ 2 là **4**.

Nếu cần thêm tính toán hay giải thích gì khác, hãy cho tôi biết nhé!