1. Tính chất hình bình hành:
- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có: \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Ta cũng có: \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

2. Xét các tam giác:
- Ta xét các tam giác \( \triangle AID \) và \( \triangle CKD \).

3. Chứng minh các tam giác đồng dạng:
- Do \( AI = CK \) và \( I \) trên \( BC \), \( K \) trên \( AB \).
- Vì \( AB \parallel CD \), \( AD \parallel BC \), các góc đối diện bằng nhau, ta có:
- \( \angle AID = \angle CKD \) (cùng phụ với \( \angle BID \) và \( \angle BKD \))
- \( \angle IAD = \angle KCD \) (so le trong)

=> \( \triangle AID \sim \triangle CKD \) (g-g)

4. Tính chất đồng dạng:
- Vì hai tam giác \( \triangle AID \) và \( \triangle CKD \) đồng dạng, các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau:
- \(\frac{AI}{CK} = \frac{AD}{CD}\)

5. Chứng minh \( O \) nằm trên phân giác:
- \( O \) là giao điểm của \( AI \) và \( CK \), xét các tam giác \( \triangle AIO \) và \( \triangle CKO \):
- Ta có: \(\frac{AI}{CK} = 1\) do \( AI = CK \).
- Vì \( \triangle AID \sim \triangle CKD \) thì \( \triangle AIO \sim \triangle CKO \).

6. Phân giác của góc \( AOC \):
- Vì \( O \) là giao điểm của \( AI \) và \( CK \) trong hình bình hành \( ABCD \), và \( \triangle AIO \sim \triangle CKO \), \( OD \) phải là phân giác của góc \( AOC \).

Kết luận: \( OD \) là phân giác của góc \( AOC \).

Để chứng minh \( OD \) là phân giác của góc \( AOC \) trong hình bình hành \( ABCD \) với các điểm \( I \) và \( K \) như đã cho, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và các định lý trong tam giác.

### Các bước chứng minh:

1. **Xác định các điểm và góc**:
- Gọi \( \angle AOC = x \) và \( \angle AOD = y \) là các góc mà chúng ta cần xem xét.
- Giả sử \( O \) là giao điểm của \( AI \) và \( CK \).

2. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Điểm \( I \) trên \( BC \) và điểm \( K \) trên \( AB \).

3. **Sử dụng tỷ lệ đoạn thẳng**:
- Vì \( AI = CK \) (theo giả thiết), ta có thể sử dụng tính chất tam giác và định lý phân giác.
- Gọi \( C' \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AI \) và \( A' \) là hình chiếu của \( A \) lên \( CK \).

4. **Công thức phân giác**:
- Theo định lý phân giác, đoạn \( OD \) sẽ chia góc \( AOC \) thành hai góc bằng nhau nếu \( \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{DC} \).
- Do \( ABCD \) là hình bình hành nên \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

5. **Kết luận**:
- Từ những điều trên, ta có \( \frac{AO}{OC} = 1 \), do đó \( OD \) chia góc \( AOC \) thành hai góc bằng nhau.
- Vậy \( OD \) là phân giác của góc \( AOC \).

### Kết quả:

Chúng ta đã chứng minh rằng \( OD \) là phân giác của góc \( AOC \).