tìm hai số thực a,b thoả mãn
Quảng cáo
2 câu trả lời 89
Để tìm hai số thực \(a\) và \(b\) thoả mãn các điều kiện:
1. \( ab = \sqrt{2} \)
2. \( a^3 + 2 \sqrt{2} b^3 = 9 \)
Ta thực hiện các bước sau:
1. **Thay \(b\) từ điều kiện 1 vào điều kiện 2**:
Từ \( ab = \sqrt{2} \), ta có:
\[
b = \frac{\sqrt{2}}{a}
\]
Thay vào điều kiện 2:
\[
a^3 + 2 \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{a}\right)^3 = 9
\]
2. **Tính giá trị \(b^3\)**:
\[
b^3 = \left(\frac{\sqrt{2}}{a}\right)^3 = \frac{(\sqrt{2})^3}{a^3} = \frac{2 \sqrt{2}}{a^3}
\]
Thay vào điều kiện 2:
\[
a^3 + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{a^3} = 9
\]
\[
a^3 + 2 \cdot 2 \cdot \frac{2}{a^3} = 9
\]
\[
a^3 + \frac{8}{a^3} = 9
\]
3. **Giải phương trình \(a^3 + \frac{8}{a^3} = 9\)**:
Đặt \(x = a^3\), ta có phương trình:
\[
x + \frac{8}{x} = 9
\]
Nhân cả hai vế với \(x\):
\[
x^2 + 8 = 9x
\]
\[
x^2 - 9x + 8 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2}
\]
\[
x = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2}{2} = 1
\]
Vì \(x = a^3\), nên:
\[
a^3 = 8 \quad \text{hoặc} \quad a^3 = 1
\]
Do đó:
\[
a = \sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{hoặc} \quad a = \sqrt[3]{1} = 1
\]
4. **Tìm giá trị của \(b\)**:
- Nếu \(a = 2\):
\[
b = \frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
- Nếu \(a = 1\):
\[
b = \frac{\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}
\]
5. **Kiểm tra nghiệm**:
- Khi \(a = 2\) và \(b = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
a^3 + 2 \sqrt{2} b^3 = 2^3 + 2 \sqrt{2} \left(\frac{(\sqrt{2})^3}{8}\right) = 8 + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{8} = 8 + 2 = 10 \neq 9
\]
- Khi \(a = 1\) và \(b = \sqrt{2}\):
\[
a^3 + 2 \sqrt{2} b^3 = 1^3 + 2 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^3 = 1 + 2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} = 1 + 8 = 9
\]
Vậy nghiệm đúng là:
\[
a = 1 \quad \text{và} \quad b = \sqrt{2}
\]
Để tìm hai số thực \( a \) và \( b \) thoả mãn hai điều kiện:
1. \( ab = \sqrt{2} \)
2. \( a^3 + 2\sqrt{2} b^3 = 9 \)
Chúng ta có thể bắt đầu từ điều kiện đầu tiên và biểu diễn \( b \) theo \( a \):
\[
b = \frac{\sqrt{2}}{a}
\]
Tiếp theo, thay giá trị của \( b \) vào điều kiện thứ hai:
\[
a^3 + 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{a} \right)^3 = 9
\]
Tính \( b^3 \):
\[
b^3 = \left( \frac{\sqrt{2}}{a} \right)^3 = \frac{2\sqrt{2}}{a^3}
\]
Thay vào phương trình:
\[
a^3 + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{a^3} = 9
\]
Giải phương trình:
\[
a^3 + \frac{4}{a^3} = 9
\]
Đặt \( x = a^3 \), ta có:
\[
x + \frac{4}{x} = 9
\]
Nhân hai vế với \( x \) (với \( x
eq 0 \)):
\[
x^2 - 9x + 4 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 16}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{65}}{2}
\]
Chọn hai giá trị của \( x \):
\[
x_1 = \frac{9 + \sqrt{65}}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{9 - \sqrt{65}}{2}
\]
Về \( a \):
\[
a^3 = \frac{9 + \sqrt{65}}{2} \quad \text{hoặc} \quad a^3 = \frac{9 - \sqrt{65}}{2}
\]
Tính \( a \):
\[
a = \sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{65}}{2}}
\]
\[
a = \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{65}}{2}}
\]
Để tính \( b \):
\[
b = \frac{\sqrt{2}}{a}
\]
Vì vậy, các cặp \((a, b)\) là:
\[
\left( \sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{65}}{2}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{65}}{2}}} \right)
\]
\[
\left( \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{65}}{2}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{65}}{2}}} \right)
\]
Cuối cùng, bạn có thể tính toán hoặc để nghiệm này ở dạng này nếu không yêu cầu giá trị số cụ thể.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
3 94091
-
Hỏi từ APP VIETJACK3 61224
-
48012
-
2 39057
-
13 34077
-
1 23189