Để rút gọn biểu thức \( \sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} - \sqrt{2} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn \( \sqrt{4 + \sqrt{7}} \):**

Giả sử \( \sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \). Bình phương hai vế:

\[
4 + \sqrt{7} = a + b + 2\sqrt{ab}
\]

So sánh các phần tử:

\[
a + b = 4
\]
\[
2\sqrt{ab} = \sqrt{7} \implies \sqrt{ab} = \frac{\sqrt{7}}{2} \implies ab = \frac{7}{4}
\]

Giải phương trình bậc hai \( t^2 - 4t + \frac{7}{4} = 0 \):

\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 7}}{2} = \frac{4 \pm 3}{2}
\]
\[
t = \frac{7}{2} \text{ hoặc } \frac{1}{2}
\]

Vậy \( a = \frac{7}{2} \) và \( b = \frac{1}{2} \), do đó:

\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{2}}
\]

Hoặc có thể viết dưới dạng khác là:

\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \frac{2 + \sqrt{7}}{2}
\]

2. **Rút gọn \( \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} \):**

Giả sử \( \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} = \sqrt{c} - \sqrt{d} \). Bình phương hai vế:

\[
8 - 3\sqrt{5} = c + d - 2\sqrt{cd}
\]

So sánh các phần tử:

\[
c + d = 8
\]
\[
-2\sqrt{cd} = -3\sqrt{5} \implies \sqrt{cd} = \frac{3\sqrt{5}}{2} \implies cd = \frac{45}{4}
\]

Giải phương trình bậc hai \( t^2 - 8t + \frac{45}{4} = 0 \):

\[
t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 45}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{2}
\]
\[
t = 5 \text{ hoặc } \frac{9}{2}
\]

Vậy \( c = 5 \) và \( d = \frac{9}{2} \):

\[
\sqrt{8 - 3\sqrt{5}} = \sqrt{5} - \sqrt{\frac{9}{2}}
\]

Đơn giản hơn,

\[
\sqrt{8 - 3\sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}
\]

3. **Kết hợp kết quả:**

Kết hợp \( \sqrt{4 + \sqrt{7}} \) và \( \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} \), và trừ \( \sqrt{2} \):

\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} - \sqrt{2}
\]

Sau khi rút gọn:

\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} = 2
\]

Vậy:

\[
2 - \sqrt{2}
\]

Biểu thức đã rút gọn là \( \boxed{2 - \sqrt{2}} \).

Để rút gọn biểu thức \(\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} - \sqrt{2}\), chúng ta sẽ làm từng phần một.

### Phân tích từng căn bậc hai

#### 1. Rút gọn \(\sqrt{4 + \sqrt{7}}\)

Ta có thể tìm cách viết \(4 + \sqrt{7}\) dưới dạng \((a + b)^2\):
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
Mà chúng ta cần:
\[
a^2 + b^2 = 4, \quad 2ab = \sqrt{7}
\]

Giả sử \(a^2 = x\) và \(b^2 = y\), ta có:
\[
x + y = 4
\]
\[
2\sqrt{xy} = \sqrt{7} \Rightarrow xy = \frac{7}{4}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Từ \(y = 4 - x\), thay vào phương trình \(xy\):
\[
x(4 - x) = \frac{7}{4} \Rightarrow 4x - x^2 = \frac{7}{4}
\]
Nhân cả hai bên với 4 để loại bỏ mẫu số:
\[
16x - 4x^2 = 7 \Rightarrow 4x^2 - 16x + 7 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7}}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 112}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{16 \pm 12}{8}
\]
Có hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{28}{8} = 3.5, \quad x_2 = \frac{4}{8} = 0.5
\]

Vậy:
\[
a^2 = 3.5 \quad và \quad b^2 = 0.5 \implies a = \sqrt{3.5}, b = \sqrt{0.5}
\]
Do đó:
\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{\left( \sqrt{3.5} + \sqrt{0.5} \right)^2} = \sqrt{3.5} + \sqrt{0.5}
\]
### Chuyển đổi
Thay \( \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( \sqrt{3.5} = \frac{\sqrt{14}}{2} \):
\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

#### 2. Rút gọn \(\sqrt{8 - 3\sqrt{5}}\)

Tương tự, ta cần biểu diễn \(8 - 3\sqrt{5}\):
Giả sử:
\[
(a - b)^2 = 8 - 3\sqrt{5}
\]
Ta có:
\[
a^2 + b^2 = 8, \quad 2ab = 3\sqrt{5} \Rightarrow ab = \frac{3\sqrt{5}}{2}
\]

Thay \(y = 8 - x\) vào để giải:
\[
x(8 - x) = \frac{15}{4}
\]
\[
8x - x^2 = \frac{15}{4} \Rightarrow 4x^2 - 32x + 15 = 0
\]
Giải phương trình này:
\[
x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 240}}{8} = \frac{32 \pm \sqrt{784}}{8} = \frac{32 \pm 28}{8}
\]
Có nghiệm:
\[
x_1 = 7.5, x_2 = 0.5
\]

Vậy:
\[
\sqrt{8 - 3\sqrt{5}} \cdots \text{tương tự}
\]

Cuối cùng, tổ hợp lại:
### Tổng hợp lại biểu thức
Khi đưa lại cùng nhau, ta có:
\[
\frac{\sqrt{14}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} - \sqrt{2}
\]

Nói tóm lại, biểu thức trên sau cùng chưa được xây dựng hết nhưng có thể viết gọn:
\[
\sqrt{2} + \text{thành phần cộng thêm} - \sqrt{2} = \text{giao thoa tự nhiên}
\]

Biểu thức này có thể cần thêm phân tích phức tạp hơn bởi tính phép rút gọn. Xin phép bạn đưa thêm nếu cần các phương pháp phức tạp hơn trong giải thích.