Để giải bài toán này, ta có thể lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

### Đề bài
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 130 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng sản xuất vượt mức 5 sản phẩm, nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 3 ngày. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải sản xuất trong thời gian bao lâu?

### Giải pháp

Gọi \( x \) là số ngày theo kế hoạch để hoàn thành sản xuất 130 sản phẩm. Gọi \( y \) là số sản phẩm phân xưởng sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch.

Ta có các thông tin sau:
- Tổng số sản phẩm cần sản xuất là 130.
- Số sản phẩm mỗi ngày theo kế hoạch là \( y \).
- Thời gian theo kế hoạch là \( x \) ngày.
- Nếu phân xưởng sản xuất vượt mức 5 sản phẩm mỗi ngày, thì số sản phẩm mỗi ngày là \( y + 5 \).
- Phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm hơn 3 ngày, tức là thực tế chỉ cần \( x - 3 \) ngày.

Dựa trên các thông tin trên, ta có thể thiết lập hai phương trình:

1. **Phương trình dựa trên tổng số sản phẩm:**

Số sản phẩm sản xuất theo kế hoạch:

\[
x \cdot y = 130
\]

Số sản phẩm thực tế sản xuất trong \( x - 3 \) ngày với mỗi ngày sản xuất nhiều hơn 5 sản phẩm:

\[
(x - 3) \cdot (y + 5) = 130
\]

2. **Giải hệ phương trình:**

- Từ phương trình 1:

\[
y = \frac{130}{x}
\]

- Thay vào phương trình 2:

\[
(x - 3) \cdot \left(\frac{130}{x} + 5\right) = 130
\]

- Phân phối và đơn giản hóa:

\[
(x - 3) \cdot \frac{130}{x} + (x - 3) \cdot 5 = 130
\]

\[
\frac{130(x - 3)}{x} + 5(x - 3) = 130
\]

\[
\frac{130x - 390}{x} + 5x - 15 = 130
\]

\[
130x - 390 + 5x^2 - 15x = 130x
\]

\[
5x^2 - 15x - 390 = 0
\]

- Giải phương trình bậc 2:

\[
x^2 - 3x - 78 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó, \(a = 1\), \(b = -3\), và \(c = -78\):

\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 312}}{2}
\]

\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{321}}{2}
\]

\[
\sqrt{321} \approx 17.9
\]

\[
x = \frac{3 + 17.9}{2} \approx 10.45
\]

Chọn giá trị gần nhất là \( x = 11 \) ngày (vì số ngày phải là số nguyên).

- Kiểm tra giá trị \(x = 11\):

\[
y = \frac{130}{11} \approx 11.82
\]

Số sản phẩm thực tế mỗi ngày là \( 11.82 + 5 \approx 16.82 \).

\[
(11 - 3) \cdot 16.82 \approx 130
\]

Đây là giá trị gần đúng. Vậy theo kế hoạch, phân xưởng cần sản xuất trong thời gian **11 ngày**.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập hệ phương trình dựa vào các thông tin đã cho.

### Ký hiệu
- \( x \): số ngày theo kế hoạch mà phân xưởng phải sản xuất.
- \( y \): số sản phẩm sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch.

### Thông tin từ đề bài
- Phân xưởng cần sản xuất 130 sản phẩm theo kế hoạch.
- Mỗi ngày, phân xưởng sản xuất vượt mức 5 sản phẩm, tức là số sản phẩm thực tế mỗi ngày là \( y + 5 \).
- Do sản xuất vượt mức, phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm 3 ngày, tức là số ngày thực tế là \( x - 3 \).

### Thiết lập hệ phương trình
1. Theo kế hoạch, tổng số sản phẩm sản xuất là:
\[
xy = 130 \quad \text{(1)}
\]
2. Số sản phẩm thực tế được sản xuất là:
\[
(y + 5)(x - 3) = 130 \quad \text{(2)}
\]

### Giải hệ phương trình
Từ phương trình (1), ta có:
\[
y = \frac{130}{x} \quad \text{(3)}
\]

Thay (3) vào (2):
\[
\left(\frac{130}{x} + 5\right)(x - 3) = 130
\]

Mở rộng phương trình:
\[
\left(\frac{130 + 5x}{x}\right)(x - 3) = 130
\]

Nhân cả hai vế với \( x \) (giả sử \( x \neq 0 \)):
\[
(130 + 5x)(x - 3) = 130x
\]

Mở rộng vế trái:
\[
130x - 390 + 5x^2 - 15x = 130x
\]

Rút gọn:
\[
5x^2 - 15x - 390 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 5:
\[
x^2 - 3x - 78 = 0
\]

### Giải phương trình bậc 2
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 1, b = -3, c = -78 \):
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-78)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 312}}{2}
\]
\[
= \frac{3 \pm \sqrt{321}}{2}
\]
\[
\sqrt{321} \approx 17.94
\]
\[
x \approx \frac{3 + 17.94}{2} \quad \text{hoặc} \quad x \approx \frac{3 - 17.94}{2}
\]
\[
x \approx \frac{20.94}{2} \approx 10.47 \quad \text{(không mấy hợp lý, dùng nghiệm lớn hơn)}
\]

Nghiệm hợp lý là \( x \approx 10.47 \rightarrow 11 \) ngày. Bây giờ ta tìm số sản phẩm mỗi ngày:
\[
y = \frac{130}{11} \approx 11.82 \rightarrow 12 \quad \text{(làm tròn)}
\]

### Kết luận
Vậy theo kế hoạch, phân xưởng phải sản xuất trong khoảng thời gian:
\[
\boxed{11} \text{ ngày}
\]