Chúng ta sẽ giải từng phần một của bài toán với tam giác ABC vuông tại A, với \( AB = 3 \, \text{cm} \) và \( AC = 4 \, \text{cm} \).

### a) Tính số đo các góc và các cạnh còn lại
Trong tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago, ta tính cạnh BC như sau:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]

Tiếp theo, chúng ta xác định các góc còn lại.

- **Góc A** đã biết là \( 90^\circ \).

Sử dụng hàm lượng giác để tính các góc B và C:

1. Đối với góc B:
\[
\tan(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \implies B = \tan^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)
\]

2. Đối với góc C:
\[
\tan(C) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} \implies C = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right)
\]

Tổng của các góc trong tam giác ABC là:
\[
A + B + C = 180^\circ \implies 90^\circ + B + C = 180^\circ \implies B + C = 90^\circ
\]

Vậy tóm tắt:
- \( AB = 3 \, \text{cm} \)
- \( AC = 4 \, \text{cm} \)
- \( BC = 5 \, \text{cm} \)
- \( A = 90^\circ \)
- \( B = \tan^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) \)
- \( C = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \)

### b) Tính BE và CE khi đường phân giác AC cắt BC tại E
Áp dụng định lý phân giác:

\[
\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}
\]

Gọi:
- \( BE = 3k \)
- \( CE = 4k \)

Ta có:
\[
BE + CE = BC \implies 3k + 4k = 5 \implies 7k = 5 \implies k = \frac{5}{7}
\]

Do đó:
- \( BE = 3k = 3 \times \frac{5}{7} = \frac{15}{7} \, \text{cm} \)
- \( CE = 4k = 4 \times \frac{5}{7} = \frac{20}{7} \, \text{cm} \)

### c) Xác định hình tứ giác AMEN và tính diện tích, chu vi

- **Hình tứ giác AMEN**:
- \( EM \) vuông góc với \( AB \) và \( EN \) vuông góc với \( AC \) nghĩa là \( EM \) và \( EN \) là hai đường vuông góc với các cạnh của tam giác, tạo thành hình chữ nhật.
- Do vậy, tứ giác AMEN là hình chữ nhật.

#### Tính diện tích của tứ giác AMEN:
Diện tích của hình chữ nhật AMEN là:
\[
\text{Diện tích} = AM \times AN
\]
- **Tính \( AM \)**: \( AM = AB = 3 \, \text{cm} \)
- **Tính \( AN \)**: \( AN = AC = 4 \, \text{cm} \)

Vì vậy:
\[
\text{Diện tích} = 3 \times 4 = 12 \, \text{cm}^2
\]

#### Tính chu vi của tứ giác AMEN:
\[
\text{Chu vi} = 2(AM + AN) = 2(3 + 4) = 2 \times 7 = 14 \, \text{cm}
\]

### Kết luận:
- Số đo các cạnh và góc còn lại:
- \( BC = 5 \, \text{cm} \)
- \( B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \)
- \( C = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)

- Tìm được:
- \( BE = \frac{15}{7} \, \text{cm} \), \( CE = \frac{20}{7} \, \text{cm} \)

- Tứ giác AMEN là hình chữ nhật, có diện tích \( 12 \, \text{cm}^2 \) và chu vi \( 14 \, \text{cm} \).