Để giải hệ phương trình sau:

\[
\frac{3x + \frac{2}{3} + y - \frac{1}{2}}{2} = 1
\]
\[
\frac{4x + \frac{y}{4} + y + \frac{1}{2}}{-3} = -3
\]

Ta thực hiện các bước sau:

### Phương trình thứ nhất:

\[
\frac{3x + \frac{2}{3} + y - \frac{1}{2}}{2} = 1
\]

Nhân cả hai vế với 2 để bỏ dấu phân số:

\[
3x + \frac{2}{3} + y - \frac{1}{2} = 2
\]

Gộp các hằng số lại với nhau:

\[
3x + y + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = 2
\]

Tìm mẫu số chung của \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{1}{2}\):

\[
\frac{2}{3} = \frac{4}{6}
\]
\[
\frac{1}{2} = \frac{3}{6}
\]
\[
\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}
\]

Thay vào phương trình:

\[
3x + y + \frac{1}{6} = 2
\]

Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ phân số:

\[
6 \cdot (3x + y + \frac{1}{6}) = 6 \cdot 2
\]
\[
18x + 6y + 1 = 12
\]
\[
18x + 6y = 11
\]

Phương trình thứ nhất sau khi đơn giản hóa:

\[
18x + 6y = 11
\]

### Phương trình thứ hai:

\[
\frac{4x + \frac{y}{4} + y + \frac{1}{2}}{-3} = -3
\]

Nhân cả hai vế với -3 để bỏ dấu phân số:

\[
4x + \frac{y}{4} + y + \frac{1}{2} = 9
\]

Gộp các hằng số lại với nhau:

\[
4x + \frac{y}{4} + y + \frac{1}{2} = 9
\]

Thay \(\frac{y}{4} + y\) bằng \(\frac{5y}{4}\):

\[
4x + \frac{5y}{4} + \frac{1}{2} = 9
\]

Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số:

\[
4 \cdot (4x + \frac{5y}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cdot 9
\]
\[
16x + 5y + 2 = 36
\]
\[
16x + 5y = 34
\]

Phương trình thứ hai sau khi đơn giản hóa:

\[
16x + 5y = 34
\]

### Giải hệ phương trình:

1. \(18x + 6y = 11\)
2. \(16x + 5y = 34\)

Sử dụng phương pháp khử để giải:

Nhân phương trình thứ nhất với 5 và phương trình thứ hai với 6 để đồng nhất hệ số của \(y\):

\[
5 \cdot (18x + 6y) = 5 \cdot 11
\]
\[
90x + 30y = 55
\]

\[
6 \cdot (16x + 5y) = 6 \cdot 34
\]
\[
96x + 30y = 204
\]

Trừ hai phương trình:

\[
96x + 30y - (90x + 30y) = 204 - 55
\]
\[
6x = 149
\]
\[
x = \frac{149}{6}
\]

Thay giá trị của \(x\) vào phương trình thứ hai:

\[
16 \cdot \frac{149}{6} + 5y = 34
\]
\[
\frac{2384}{6} + 5y = 34
\]
\[
\frac{2384 + 30y}{6} = 34
\]
\[
2384 + 30y = 204
\]
\[
30y = 204 - 2384
\]
\[
30y = -2180
\]
\[
y = -\frac{2180}{30} = -\frac{109}{15}
\]

Giá trị của \(x\) và \(y\) là:

\[
x = \frac{149}{6}, \quad y = -\frac{109}{15}
\]

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình sau:

1.
$3x + \frac{2}{3} + \frac{y - 1}{2} = 1$
2.
$4x + \frac{y}{4} + y + \frac{1}{2} = -3$

Bước 1: Đưa các phương trình về dạng đơn giản hơn

Phương trình 1:
[
3x + \frac{2}{3} + \frac{y - 1}{2} = 1
]
Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số:
[
18x + 4 + 3(y - 1) = 6
]
[
18x + 4 + 3y - 3 = 6
]
[
18x + 3y + 1 = 6
]
[
18x + 3y = 5 \quad \text{(1)}
]

Phương trình 2:
[
4x + \frac{y}{4} + y + \frac{1}{2} = -3
]
Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số:
[
16x + y + 4y + 2 = -12
]
[
16x + 5y + 2 = -12
]
[
16x + 5y = -14 \quad \text{(2)}
]

Bước 2: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1):
[
18x + 3y = 5
]
Chia cả hai vế cho 3:
[
6x + y = \frac{5}{3} \quad \text{(3)}
]

Từ phương trình (2):
[
16x + 5y = -14
]

Bước 3: Thay y từ phương trình (3) vào phương trình (2)

Từ phương trình (3):
[
y = \frac{5}{3} - 6x
]

Thay vào phương trình (2):
[
16x + 5\left(\frac{5}{3} - 6x\right) = -14
]
[
16x + \frac{25}{3} - 30x = -14
]
[
-14x + \frac{25}{3} = -14
]
Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số:
[
-42x + 25 = -42
]
[
-42x = -42 - 25
]
[
-42x = -67
]
[
x = \frac{67}{42}
]

Bước 4: Tìm y

Thay ( x = \frac{67}{42} ) vào phương trình (3):
[
y = \frac{5}{3} - 6\left(\frac{67}{42}\right)
]
[
y = \frac{5}{3} - \frac{402}{42}
]
[
y = \frac{5}{3} - \frac{201}{21}
]
[
y = \frac{35}{21} - \frac{201}{21}
]
[
y = \frac{-166}{21}
]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
[
x = \frac{67}{42}, \quad y = \frac{-166}{21}
]