Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm quy luật của dãy số và từ đó tìm công thức tổng quát cho \( X_n \).

### 1. **Xác định Quy Luật của Dãy Số**

Dãy số cho trước là:

\[ X_1 = 6, X_2 = 15, X_3 = 28, X_4 = 45, X_5 = 66, X_6 = 91, X_7 = 120, \ldots \]

Để tìm quy luật, ta xem xét hiệu số giữa các số liên tiếp:

- \( X_2 - X_1 = 15 - 6 = 9 \)
- \( X_3 - X_2 = 28 - 15 = 13 \)
- \( X_4 - X_3 = 45 - 28 = 17 \)
- \( X_5 - X_4 = 66 - 45 = 21 \)
- \( X_6 - X_5 = 91 - 66 = 25 \)
- \( X_7 - X_6 = 120 - 91 = 29 \)

Hiệu số giữa các hiệu số cũng tăng đều:

- \( 13 - 9 = 4 \)
- \( 17 - 13 = 4 \)
- \( 21 - 17 = 4 \)
- \( 25 - 21 = 4 \)
- \( 29 - 25 = 4 \)

Điều này cho thấy hiệu số giữa các số liên tiếp là một dãy số tăng đều với công sai là 4.

### 2. **Tìm Công Thức Tổng Quát**

Để tìm công thức tổng quát cho \( X_n \), ta nhận thấy rằng hiệu số thứ cấp của dãy số là một hằng số. Điều này cho thấy dãy số có thể được mô tả bởi một đa thức bậc hai.

Công thức tổng quát của một dãy số có dạng \( X_n = an^2 + bn + c \).

Để tìm các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \), ta sử dụng các giá trị đã cho:

- Khi \( n = 1 \): \( X_1 = a(1)^2 + b(1) + c = 6 \)
- Khi \( n = 2 \): \( X_2 = a(2)^2 + b(2) + c = 15 \)
- Khi \( n = 3 \): \( X_3 = a(3)^2 + b(3) + c = 28 \)

Thiết lập hệ phương trình:

\[
a + b + c = 6
\]
\[
4a + 2b + c = 15
\]
\[
9a + 3b + c = 28
\]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình (1) và (2):

\[
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 15 - 6
\]
\[
3a + b = 9 \quad \text{(A)}
\]

2. Từ phương trình (2) và (3):

\[
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 28 - 15
\]
\[
5a + b = 13 \quad \text{(B)}
\]

Giải hệ phương trình (A) và (B):

\[
5a + b - (3a + b) = 13 - 9
\]
\[
2a = 4
\]
\[
a = 2
\]

Thay \( a = 2 \) vào phương trình (A):

\[
3(2) + b = 9
\]
\[
6 + b = 9
\]
\[
b = 3
\]

Thay \( a = 2 \) và \( b = 3 \) vào phương trình (1):

\[
2 + 3 + c = 6
\]
\[
5 + c = 6
\]
\[
c = 1
\]

Vậy công thức tổng quát của dãy số là:

\[
X_n = 2n^2 + 3n + 1
\]

### 3. **Tính Giá Trị của \( X_{25} \)**

Thay \( n = 25 \) vào công thức tổng quát:

\[
X_{25} = 2(25)^2 + 3(25) + 1
\]
\[
X_{25} = 2 \cdot 625 + 75 + 1
\]
\[
X_{25} = 1250 + 75 + 1
\]
\[
X_{25} = 1326
\]

### Kết Luận

- **Công thức tổng quát của dãy số là**: \( X_n = 2n^2 + 3n + 1 \).
- **Giá trị của \( X_{25} \) là**: 1326.

Để giải quyết bài toán này, trước tiên ta cần phân tích các giá trị đã cho.

Các giá trị:
- \( X_1 = 6 \)
- \( X_2 = 15 \)
- \( X_3 = 28 \)
- \( X_4 = 45 \)
- \( X_5 = 66 \)
- \( X_6 = 91 \)
- \( X_7 = 120 \)
- \( X_9 = 190 \)
- \( X_{12} = 325 \)

### 1. Tìm giá trị của \( X_{25} \)

Ta nhận thấy các giá trị này có thể biểu thị bằng công thức tổng quát. Để tìm hiểu rõ, ta sẽ xem xét sự biến đổi của các giá trị này.

Ta có thể nhận thấy rằng:

- \( X_1 = 6 = 1^2 + 2^2 + 3^2 \)
- \( X_2 = 15 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 \)
- \( X_3 = 28 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 \)
- \( X_4 = 45 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 \)
- Và tiếp tục như vậy...

Dường như \( X_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 \).

Công thức tính tổng bình phương của các số tự nhiên là:
\[
\text{Tổng } n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
\]
Vì vậy, đúng là:
\[
X_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
\]

### 2. Biểu thức toán học của \( X_n \)

Từ công thức vừa viết ở trên, ta có thể khẳng định:

\[
X_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
\]

Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của \( X_{25} \):

\[
X_{25} = \frac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6}
\]

Bước tính cụ thể:

1. Tính \( 25 \cdot 26 = 650 \).
2. Tính \( 650 \cdot 51 = 33150 \).
3. Chia cho \( 6 \):
\[
X_{25} = \frac{33150}{6} = 5525
\]

### Kết luận

1. Giá trị của \( X_{25} \) là \( 5525 \).
2. Biểu thức toán học của \( X_n \) là:
\[
X_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
\]