Chúng ta sẽ giải bất phương trình sau:

$\frac{x + 5}{2x + 1} < -1$

Để giải bất phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1.
Chuyển vế và đưa về dạng chuẩn:
$\frac{x + 5}{2x + 1} + 1 < 0$
2.
Quy đồng mẫu số:
$\frac{x + 5 + (2x + 1)}{2x + 1} < 0$
$\frac{x + 5 + 2x + 1}{2x + 1} < 0$
$\frac{3x + 6}{2x + 1} < 0$
3.
Rút gọn biểu thức:
$\frac{3(x + 2)}{2x + 1} < 0$
4.
Xét dấu của biểu thức:
• Xét tử số: ( 3(x + 2) )

• ( 3(x + 2) = 0 ) khi ( x = -2 )

• ( 3(x + 2) > 0 ) khi ( x > -2 )

• ( 3(x + 2) < 0 ) khi ( x < -2 )

• Xét mẫu số: ( 2x + 1 )

• ( 2x + 1 = 0 ) khi ( x = -\frac{1}{2} )

• ( 2x + 1 > 0 ) khi ( x > -\frac{1}{2} )

• ( 2x + 1 < 0 ) khi ( x < -\frac{1}{2} )

1.
Lập bảng xét dấu:

| ( x ) | ( -\infty ) | ( -2 ) | ( -\frac{1}{2} ) | ( +\infty ) |
|------------------|---------------|----------|--------------------|---------------|
| ( 3(x + 2) ) | ( - ) | ( 0 ) | ( + ) | ( + ) |
| ( 2x + 1 ) | ( - ) | ( - ) | ( 0 ) | ( + ) |
| ( \frac{3(x + 2)}{2x + 1} ) | ( + ) | ( 0 ) | undefined | ( + ) |

1.
Kết luận:
• Bất phương trình ( \frac{3(x + 2)}{2x + 1} < 0 ) có nghiệm khi ( x ) thuộc khoảng ( (-2, -\frac{1}{2}) ).

Vậy, nghiệm của bất phương trình là:
$x \in (-2, -\frac{1}{2})$

Để giải bất phương trình

\[
\frac{x + 5}{2x + 1} < -1,
\]

ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Chuyển về cùng một phía

Đưa tất cả về cùng một phía của bất phương trình:

\[
\frac{x + 5}{2x + 1} + 1 < 0.
\]

### Bước 2: Quy đồng mẫu

Ta viết lại biểu thức ở bên trái:

\[
\frac{x + 5 + (2x + 1)}{2x + 1} < 0.
\]

### Bước 3: Đơn giản hóa

Đơn giản hóa tử số:

\[
x + 5 + 2x + 1 = 3x + 6.
\]

Vậy bất phương trình trở thành:

\[
\frac{3x + 6}{2x + 1} < 0.
\]

### Bước 4: Tìm nghiệm của tử và mẫu

Tìm các giá trị làm tử số và mẫu số bằng 0.

- **Tử số bằng 0:**

\(3x + 6 = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2.\)

- **Mẫu số bằng 0:**

\(2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}.\)

### Bước 5: Xác định khoảng nghiệm

Các điểm chia khoảng của bất phương trình là \(x = -2\) và \(x = -\frac{1}{2}\). Ta sẽ xét các khoảng: \((-\infty, -2)\), \((-2, -\frac{1}{2})\), và \((- \frac{1}{2}, +\infty)\).

1. **Khoảng \((-\infty, -2)\)**:
- Chọn \(x = -3\):
\[
\frac{3(-3) + 6}{2(-3) + 1} = \frac{-9 + 6}{-6 + 1} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5} > 0.
\]

2. **Khoảng \((-2, -\frac{1}{2})\)**:
- Chọn \(x = -1\):
\[
\frac{3(-1) + 6}{2(-1) + 1} = \frac{-3 + 6}{-2 + 1} = \frac{3}{-1} = -3 < 0.
\]

3. **Khoảng \((- \frac{1}{2}, +\infty)\)**:
- Chọn \(x = 0\):
\[
\frac{3(0) + 6}{2(0) + 1} = \frac{6}{1} = 6 > 0.
\]

### Bước 6: Kết luận về dấu

Bất phương trình \(\frac{3x + 6}{2x + 1} < 0\) có nghiệm trên khoảng \((-2, -\frac{1}{2})\).

### Kết quả

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

\[
x \in (-2, -\frac{1}{2}).
\]