**a) Giải bất phương trình \( x^2 + x - 2 > 0 \)**

Để giải bất phương trình này, ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị hóa và kiểm tra từng khoảng giá trị của \( x \).

1. **Tìm điểm nằm giữa các nghiệm của phương trình \( x^2 + x - 2 = 0 \)** để chia các khoảng:

- Đầu tiên, giải phương trình bậc hai \( x^2 + x - 2 = 0 \):
\[ x^2 + x - 2 = 0 \]
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

- Vậy, \( x^2 + x - 2 = 0 \) có nghiệm là \( x_1 = 1 \) và \( x_2 = -2 \).

2. **Phân tích các khoảng giá trị của \( x \)**:

- Chọn điểm \( x = -3, -1, 0, 2 \) để kiểm tra:

- Khoảng \( (-\infty, -2) \): Chọn \( x = -3 \):
\[ x^2 + x - 2 = (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 \quad (\text{dương}) \]

- Khoảng \( (-2, 1) \): Chọn \( x = 0 \):
\[ x^2 + x - 2 = 0^2 + 0 - 2 = -2 \quad (\text{âm}) \]

- Khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \):
\[ x^2 + x - 2 = 2^2 + 2 - 2 = 4 \quad (\text{dương}) \]

3. **Kết luận từ các kiểm tra**:

- Bất phương trình \( x^2 + x - 2 > 0 \) thỏa mãn ở hai khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (1, \infty) \).

- Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:
\[ \boxed{x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)} \]

**b) Giải bất phương trình \( -x^2 - 2x + 3 \leq 0 \)**

Để giải bất phương trình này, ta cũng sử dụng phương pháp đồ thị hóa và kiểm tra từng khoảng giá trị của \( x \).

1. **Đổi dấu để dễ dàng hơn**:
\[ -x^2 - 2x + 3 \leq 0 \]
\[ x^2 + 2x - 3 \geq 0 \]

2. **Tìm điểm nằm giữa các nghiệm của phương trình \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)** để chia các khoảng:

- Giải phương trình bậc hai \( x^2 + 2x - 3 = 0 \):
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]

- Vậy, \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) có nghiệm là \( x_1 = 1 \) và \( x_2 = -3 \).

3. **Phân tích các khoảng giá trị của \( x \)**:

- Chọn điểm \( x = -4, -2, 0, 2 \) để kiểm tra:

- Khoảng \( (-\infty, -3) \): Chọn \( x = -4 \):
\[ x^2 + 2x - 3 = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \quad (\text{dương}) \]

- Khoảng \( (-3, 1) \): Chọn \( x = 0 \):
\[ x^2 + 2x - 3 = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 \quad (\text{âm}) \]

- Khoảng \( [1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \):
\[ x^2 + 2x - 3 = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \quad (\text{dương}) \]

4. **Kết luận từ các kiểm tra**:

- Bất phương trình \( -x^2 - 2x + 3 \leq 0 \) thỏa mãn ở hai khoảng \( (-\infty, -3] \) và \( [1, \infty) \).

- Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:
\[ \boxed{x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)} \]

### Giải bất phương trình \(a)\): \(x^2 + x - 2 > 0\)

Để giải bất phương trình này, trước hết ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = -2\):

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \]

\[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Vậy, ta có hai nghiệm:

\[ x = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x = \frac{-4}{2} = -2 \]

Vì phương trình \(x^2 + x - 2\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = -2\), ta xét dấu của biểu thức \(x^2 + x - 2\) trong các khoảng sau:

1. \(x < -2\)
2. \(-2 < x < 1\)
3. \(x > 1\)

- Khi \(x < -2\): Chọn một giá trị \(x = -3\):

\[ (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0 \]

- Khi \(-2 < x < 1\): Chọn một giá trị \(x = 0\):

\[ 0^2 + 0 - 2 = -2 < 0 \]

- Khi \(x > 1\): Chọn một giá trị \(x = 2\):

\[ 2^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0 \]

Vậy, \(x^2 + x - 2 > 0\) khi:

\[ x < -2 \quad \text{hoặc} \quad x > 1 \]

### Giải bất phương trình \(b)\): \(-x^2 - 2x + 3 \leq 0\)

Để giải bất phương trình này, trước hết ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng:

\[ -x^2 - 2x + 3 = 0 \]

Chuyển đổi phương trình này thành phương trình bậc hai chuẩn bằng cách nhân cả hai vế với \(-1\):

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = -3\):

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \]

\[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

Vậy, ta có hai nghiệm:

\[ x = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x = \frac{-6}{2} = -3 \]

Vì phương trình \(-x^2 - 2x + 3\) có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = -3\), ta xét dấu của biểu thức \(-x^2 - 2x + 3\) trong các khoảng sau:

1. \(x < -3\)
2. \(-3 \leq x \leq 1\)
3. \(x > 1\)

- Khi \(x < -3\): Chọn một giá trị \(x = -4\):

\[ -(-4)^2 - 2(-4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 < 0 \]

- Khi \(-3 \leq x \leq 1\): Chọn một giá trị \(x = 0\):

\[ -(0)^2 - 2(0) + 3 = 3 > 0 \]

- Khi \(x > 1\): Chọn một giá trị \(x = 2\):

\[ -(2)^2 - 2(2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5 < 0 \]

Vậy, \(-x^2 - 2x + 3 \leq 0\) khi:

\[ x \leq -3 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 1 \]

Tóm lại:

a) \(x^2 + x - 2 > 0\) khi \(x < -2\) hoặc \(x > 1\).

b) \(-x^2 - 2x + 3 \leq 0\) khi \(x \leq -3\) hoặc \(x \geq 1\).