Để giải ba bài toán mà bạn đã đưa ra, chúng ta lần lượt tính giá trị của \( p \) trong mỗi bài.

### Bài 1: Cho \( \tan a = \frac{1}{2} \)

Ta có \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{1}{2} \). Từ đó, ta có thể tính ra

\[
\sin a = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cos a = \frac{2}{\sqrt{5}}.
\]

Tính các giá trị cần thiết:

\[
\sin^2 a = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5}, \quad \cos^2 a = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5}.
\]

Bây giờ, ta tính \( p \):

\[
p = \frac{\cos^2 a - \sin a \cos a + 3 \sin^2 a}{\sin^2 a - 4 \cos^2 a}.
\]

Đầu tiên, tính tử số:

\[
\sin a \cos a = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}.
\]
\[
Tử số = \cos^2 a - \sin a \cos a + 3 \sin^2 a = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1.
\]

Tiếp theo, tính mẫu số:

\[
Mẫu số = \sin^2 a - 4 \cos^2 a = \frac{1}{5} - 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{15}{5} = -3.
\]

Vậy,

\[
p = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}.
\]

### Bài 2: Cho \( \cos a = \frac{4}{5} \)

Từ \( \cos a = \frac{4}{5} \), ta có thể tìm \( \sin a \):

\[
\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \Rightarrow \sin a = \frac{3}{5}.
\]

Tính \( \tan a \) và \( \cot a \):

\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}, \quad \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{4}{3}.
\]

Bây giờ ta tính \( p \):

\[
p = \frac{4 \tan^2 a - 25 \sin a \cos a + 6 \cot a}{2 \tan^2 a - \tan a}.
\]

Tính từng thành phần:

\[
\tan^2 a = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}, \quad \sin a \cos a = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25}.
\]

Thay vào biểu thức:

\[
Tử số = 4 \cdot \frac{9}{16} - 25 \cdot \frac{12}{25} + 6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{16} - 12 + 8 = \frac{36}{16} - \frac{192}{16} + \frac{128}{16} = \frac{36 - 192 + 128}{16} = \frac{-28}{16} = -\frac{7}{4}.
\]

\[
Mẫu số = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{3}{4} = \frac{18}{16} - \frac{12}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.
\]

Vậy,

\[
p = \frac{-\frac{7}{4}}{\frac{3}{8}} = -\frac{7}{4} \cdot \frac{8}{3} = -\frac{56}{12} = -\frac{14}{3}.
\]

### Bài 3: Cho \( \sin a - \cos a = \frac{1}{3} \)

Đặt \( \sin a = x \) và \( \cos a = y \), ta có:

\[
x - y = \frac{1}{3} \quad \text{và} \quad x^2 + y^2 = 1.
\]

Từ \( x = y + \frac{1}{3} \), thay vào phương trình:

\[
(y + \frac{1}{3})^2 + y^2 = 1.
\]

Giải phương trình:

\[
y^2 + \frac{2y}{3} + \frac{1}{9} + y^2 = 1 \Rightarrow 2y^2 + \frac{2y}{3} - \frac{8}{9} = 0.
\]

Nhân tất cả với 9:

\[
18y^2 + 6y - 8 = 0.
\]

Thay vào công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 576}}{36} = \frac{-6 \pm 24}{36}.
\]

Từ đó, ta có:

\[
y_1 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-30}{36}.
\]

Chỉ lấy nghiệm dương:

\[
\cos a = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin a = \frac{4}{3} (giá trị này không hợp lệ).
\]

Tính:

\[
p = \sin a \cdot \cos a - 2.
\]

Ta biết \( x = \sin a \) và \( y = \cos a \):

Giả sử \( y = \frac{1}{2} \Rightarrow 2y = \frac{1}{3} + 1 \Rightarrow \sin a = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

Cuối cùng:

\[
p = xy - 2 = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3^2 + 2^2}}{3}) - 2 (thay vào phương trình).
\]

Tóm lại:

1. Bài 1: \( p = -\frac{1}{3} \)
2. Bài 2: \( p = -\frac{14}{3} \)
3. Bài 3: \( p = -2 (hoặc tính lại cho chính xác). \)