Để tính \(BH\) và \(CH\) trong tam giác vuông \(ABC\) với \(\angle A = 90^\circ\), đường cao \(AH\), \(AH = 12 \text{ cm}\), và \(BC = 25 \text{ cm}\), ta sẽ sử dụng các định lý liên quan đến tam giác vuông và đường cao.

**Bước 1: Sử dụng định lý Pythagore**

Vì \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), áp dụng định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Gọi \(AB = c\) và \(AC = b\), thì:
\[
c^2 + b^2 = 25^2 = 625
\]

**Bước 2: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông**

Trong tam giác vuông, đường cao \(AH\) chia cạnh huyền \(BC\) thành hai đoạn \(BH\) và \(CH\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

Đặt \(BH = x\) và \(CH = 25 - x\), ta có:
\[
12^2 = x \cdot (25 - x)
\]
\[
144 = x(25 - x)
\]
\[
144 = 25x - x^2
\]
\[
x^2 - 25x + 144 = 0
\]

**Bước 3: Giải phương trình bậc hai**

Giải phương trình bậc hai \(x^2 - 25x + 144 = 0\) bằng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây, \(a = 1\), \(b = -25\), và \(c = 144\):
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2}
\]
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2}
\]
\[
x = \frac{25 \pm 7}{2}
\]

Do đó, ta có hai nghiệm:
\[
x = \frac{25 + 7}{2} = 16
\]
\[
x = \frac{25 - 7}{2} = 9
\]

Vậy, \(BH = 16 \text{ cm}\) và \(CH = 9 \text{ cm}\).

**Kết luận:**

\[
BH = 16 \text{ cm}
\]
\[
CH = 9 \text{ cm}
\]

Trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại A, ta có:
- AH là đường cao từ A xuống cạnh huyền BC.
- Chúng ta có chiều dài AH = 12 cm và BC = 25 cm.

Theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có công thức:

\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

Trong đó:
- BH là chiều dài đoạn từ B đến H (điểm H là giao điểm của đường cao AH với cạnh huyền BC).
- CH là chiều dài đoạn từ C đến H.

Có một mối quan hệ giữa các đoạn BH, CH và cạnh BC:

\[
BH + CH = BC
\]

Do đó, chúng ta có hai phương trình:

1. \( AH^2 = BH \cdot CH \) (1)
2. \( BH + CH = 25 \) (2)

Bây giờ, từ (2), ta có thể bày tỏ \( CH \) theo \( BH \):

\[
CH = 25 - BH
\]

Thay vào (1):

\[
12^2 = BH \cdot (25 - BH)
\]

Tính \( 12^2 \):

\[
144 = BH \cdot (25 - BH)
\]

Giải phương trình:

\[
144 = 25BH - BH^2
\]

Sắp xếp lại thành phương trình bậc 2:

\[
BH^2 - 25BH + 144 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
BH = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó:
- \( a = 1 \)
- \( b = -25 \)
- \( c = 144 \)

Tính \( b^2 - 4ac \):

\[
b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49
\]

Tính \( BH \):

\[
BH = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2}
\]

\[
BH = \frac{25 \pm 7}{2}
\]

**Tìm nghiệm:**

1. \( BH = \frac{32}{2} = 16 \)
2. \( BH = \frac{18}{2} = 9 \)

Vậy chúng ta có hai giá trị cho BH:

- Khi \( BH = 16 \), thì \( CH = 25 - 16 = 9 \).
- Khi \( BH = 9 \), thì \( CH = 25 - 9 = 16 \).

**Kết luận:**

- \( BH = 16 \) cm và \( CH = 9 \) cm.
- Hoặc \( BH = 9 \) cm và \( CH = 16 \) cm.

Tùy thuộc vào cách đặt trong tam giác, cả hai kết quả đều hợp lệ.