Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số tự nhiên có 2 chữ số, gọi là \( xy \), sao cho khi chèn số 3 vào giữa hai chữ số, số mới được là số lớn hơn 2 lần số ban đầu cộng 585 đơn vị, và khi đảo ngược hai chữ số của số ban đầu thì số mới được nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là \( 10x + y \), trong đó \( x \) và \( y \) là các chữ số từ 0 đến 9, và \( x \neq 0 \) vì số đó có hai chữ số.

1. **Tìm số mới khi chèn chữ số 3 vào giữa hai chữ số:**

Khi viết thêm chữ số 3 vào giữa \( x \) và \( y \), số mới sẽ là \( 100x + 30 + y \).

Theo bài toán, số mới này lớn hơn 2 lần số ban đầu cộng 585 đơn vị:

\[
100x + 30 + y = 2 \cdot (10x + y) + 585
\]

Giải phương trình này:

\[
100x + 30 + y = 20x + 2y + 585
\]

\[
100x - 20x + 30 - 585 = 2y - y
\]

\[
80x - 555 = y
\]

\[
y = 80x - 555
\]

2. **Tìm số mới khi đảo ngược hai chữ số:**

Khi đảo ngược hai chữ số, số mới sẽ là \( 10y + x \).

Theo bài toán, số mới này nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị:

\[
10y + x = (10x + y) - 18
\]

Giải phương trình này:

\[
10y + x = 10x + y - 18
\]

\[
10y - y = 10x - x - 18
\]

\[
9y = 9x - 18
\]

\[
y = x - 2
\]

3. **Kết hợp hai phương trình:**

Thay \( y = x - 2 \) vào phương trình \( y = 80x - 555 \):

\[
x - 2 = 80x - 555
\]

\[
-2 + 555 = 80x - x
\]

\[
553 = 79x
\]

\[
x = \frac{553}{79} = 7
\]

Thay \( x = 7 \) vào \( y = x - 2 \):

\[
y = 7 - 2 = 5
\]

4. **Kết quả:**

Số tự nhiên có hai chữ số là \( 10x + y = 10 \cdot 7 + 5 = 75 \).

**Kiểm tra:**

- Khi chèn chữ số 3 vào giữa 75, số mới là 735.
\[
735 = 2 \cdot 75 + 585
\]
\[
735 = 150 + 585
\]
\[
735 = 735
\]

- Khi đảo ngược 75, số mới là 57, nhỏ hơn 75 là 18 đơn vị.
\[
75 - 57 = 18
\]

Vậy số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn yêu cầu là **75**.

Để giải bài toán này, ta gọi số tự nhiên có 2 chữ số ban đầu là AB (trong đó A là chữ số hàng đơn vị, B là chữ số hàng đơn vị).

Theo yêu cầu của bài toán, ta có:
1) Số mới khi thêm chữ số 3 vào giữa 2 chữ số là A3B, lớn hơn 2 lần số ban đầu: 10A + 3 + B > 2(10A + B)
=> 10A + 3 + B > 20A + 2B
=> 18A - B < 3

2) Số mới khi viết 2 chữ số theo thứ tự ngược lại là BA, nhỏ hơn số ban đầu: 10B + A < 10A + B
=> 9B - 9A < 0
=> B < A

Với điều kiện B < A, ta thử các trường hợp có thể xảy ra:
- A = 1: B có thể là 0, 1, 2
- A = 2: B có thể là 0, 1
- A = 3: B có thể là 0

Ta thử từng trường hợp:
1) A = 1, B = 0: 10 + 3 + 0 = 13 (không thỏa mãn điều kiện 18A - B < 3)
2) A = 1, B = 1: 11 + 3 + 1 = 15 (không thỏa mãn điều kiện 18A - B < 3)
3) A = 1, B = 2: 12 + 3 + 2 = 17 (không thỏa mãn điều kiện 18A - B < 3)
4) A = 2, B = 0: 20 + 3 + 0 = 23 (thỏa mãn điều kiện 18A - B < 3)
5) A = 2, B = 1: 21 + 3 + 1 = 25 (không thỏa mãn điều kiện 18A - B < 3)
6) A = 3, B = 0: 30 + 3 + 0 = 33 (không thỏa mãn điều kiện 18A - B < 3)

Vậy số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn là 20.