Để tìm \( a \) và \( b \) sao cho hệ phương trình có nghiệm là \( (1, -2) \):

### Hệ phương trình:
1. \( ax + by = 1 \)
2. \( ax + (b-2)y = 3 \)

### Thay nghiệm \( (1, -2) \) vào hệ phương trình:

**Phương trình 1:**
\[
a(1) + b(-2) = 1 \implies a - 2b = 1 \tag{1}
\]

**Phương trình 2:**
\[
a(1) + (b-2)(-2) = 3 \implies a - 2b + 4 = 3 \implies a - 2b = -1 \tag{2}
\]

### Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ (1) và (2):
\[
a - 2b = 1 \quad (1)
\]
\[
a - 2b = -1 \quad (2)
\]

Hai phương trình này mâu thuẫn (không thể đồng thời đúng). Vậy không có giá trị nào cho \( a \) và \( b \) sao cho nghiệm là \( (1, -2) \).

---

### Giải hệ phương trình \( x + 3y = 1 \) và \( (a^2 + 1)x + 6y = 2a \):

1. **Phương trình 1:** \( x + 3y = 1 \)
Giải cho \( x \):
\[
x = 1 - 3y \tag{3}
\]

2. **Phương trình 2:** \( (a^2 + 1)x + 6y = 2a \)
Thay (3) vào (2):
\[
(a^2 + 1)(1 - 3y) + 6y = 2a
\]
Phát triển:
\[
a^2 + 1 - 3(a^2 + 1)y + 6y = 2a
\]
Nhóm lại:
\[
(6 - 3(a^2 + 1))y = 2a - (a^2 + 1)
\]
\[
(6 - 3a^2 - 3)y = 2a - a^2 - 1
\]

### Các trường hợp:

**A. \( a = -1 \):**
\[
(6 - 3(-1)^2 - 3)y = 2(-1) - (-1)^2 - 1
\]
\[
(6 - 3 - 3)y = -2 - 1 - 1
\]
\[
0 = -4 \quad \text{(mâu thuẫn)}
\]

**B. \( b = a = 0 \):**
\[
(6 - 3(0)^2 - 3)y = 2(0) - (0)^2 - 1
\]
\[
(6 - 3)y = -1
\]
\[
3y = -1 \implies y = -\frac{1}{3}
\]
Thay vào (3):
\[
x + 3(-\frac{1}{3}) = 1 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2
\]
Nghiệm là \( (2, -\frac{1}{3}) \).

**C. \( a = 1 \):**
\[
(6 - 3(1)^2 - 3)y = 2(1) - (1)^2 - 1
\]
\[
(6 - 3 - 3)y = 2 - 1 - 1
\]
\[
0 = 0 \quad \text{(vô số nghiệm)}
\]

---

### Kết luận:
- Hệ phương trình đầu tiên không có giá trị \( a, b \) thỏa mãn.
- Với hệ phương trình thứ hai:
- A: Mâu thuẫn.
- B: Nghiệm \( (2, -\frac{1}{3}) \).
- C: Vô số nghiệm.

Để tìm a? và b? sao cho hệ phương trình có nghiệm là (1,−2)(1,−2):

### Hệ phương trình:
1. ax+by=1??+??=1
2. ax+(b−2)y=3??+(?−2)?=3

### Thay nghiệm (1,−2)(1,−2) vào hệ phương trình:

**Phương trình 1:**
a(1)+b(−2)=1⟹a−2b=1(1)(1)?(1)+?(−2)=1⟹?−2?=1

**Phương trình 2:**
a(1)+(b−2)(−2)=3⟹a−2b+4=3⟹a−2b=−1(2)(2)?(1)+(?−2)(−2)=3⟹?−2?+4=3⟹?−2?=−1

### Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ (1) và (2):
a−2b=1(1)?−2?=1(1)
a−2b=−1(2)?−2?=−1(2)

Hai phương trình này mâu thuẫn (không thể đồng thời đúng). Vậy không có giá trị nào cho a? và b? sao cho nghiệm là (1,−2)(1,−2).

---

### Giải hệ phương trình x+3y=1?+3?=1 và (a2+1)x+6y=2a(?2+1)?+6?=2?:

1. **Phương trình 1:** x+3y=1?+3?=1
Giải cho x?:
x=1−3y(3)(3)?=1−3?

2. **Phương trình 2:** (a2+1)x+6y=2a(?2+1)?+6?=2?
Thay (3) vào (2):
(a2+1)(1−3y)+6y=2a(?2+1)(1−3?)+6?=2?
Phát triển:
a2+1−3(a2+1)y+6y=2a?2+1−3(?2+1)?+6?=2?
Nhóm lại:
(6−3(a2+1))y=2a−(a2+1)(6−3(?2+1))?=2?−(?2+1)
(6−3a2−3)y=2a−a2−1(6−3?2−3)?=2?−?2−1

### Các trường hợp:

**A. a=−1?=−1:**
(6−3(−1)2−3)y=2(−1)−(−1)2−1(6−3(−1)2−3)?=2(−1)−(−1)2−1
(6−3−3)y=−2−1−1(6−3−3)?=−2−1−1
0=−4(mâu thuẫn)0=−4(mâu thuẫn)

**B. b=a=0?=?=0:**
(6−3(0)2−3)y=2(0)−(0)2−1(6−3(0)2−3)?=2(0)−(0)2−1
(6−3)y=−1(6−3)?=−1
3y=−1⟹y=−133?=−1⟹?=−13
Thay vào (3):
x+3(−13)=1⟹x−1=1⟹x=2?+3(−13)=1⟹?−1=1⟹?=2
Nghiệm là (2,−13)(2,−13).

**C. a=1?=1:**
(6−3(1)2−3)y=2(1)−(1)2−1(6−3(1)2−3)?=2(1)−(1)2−1
(6−3−3)y=2−1−1(6−3−3)?=2−1−1
0=0(vô số nghiệm)0=0(vô số nghiệm)

---

### Kết luận:
- Hệ phương trình đầu tiên không có giá trị a,b?,? thỏa mãn.
- Với hệ phương trình thứ hai:
- A: Mâu thuẫn.
- B: Nghiệm (2,−13)(2,−13).
- C: Vô số nghiệm.

1. Giải hệ phương trình:
- ax + by = 1
- ax + (b-2)y = 3

Để giải hệ phương trình này, ta trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai để loại bỏ x:
(by - (b-2)y) = 1 - 3
=> (b - b + 2)y = -2
=> 2y = -2
=> y = -1

Thay y = -1 vào phương trình thứ nhất:
ax + b(-1) = 1
ax - b = 1
ax = b + 1
=> a = (b + 1)/x

Với nghiệm (1, -2), ta có:
a = (b + 1)/1
a = b + 1
=> a = b + 1

Thay a = b + 1 vào phương trình thứ hai:
1 + (b+1)(-2) = 3
1 - 2b - 2 = 3
-2b - 1 = 3
-2b = 4
b = -2

Thay b = -2 vào a = b + 1:
a = -2 + 1
a = -1

Vậy, a = -1 và b = -2.

2. Giải hệ phương trình:
- x + 3y = 1
- (a² + 1)x + 6y = 2a

Để giải hệ phương trình này, ta nhân phương trình thứ nhất với (a² + 1) và cộng vào phương trình thứ hai để loại bỏ x:
(a² + 1)x + 3(a² + 1)y = a² + 1
(a² + 1)x + 6y = 2a

=> 3(a² + 1)y = a² + 1 - 2a
=> 3a²y + 3y = a² + 1 - 2a
=> 3a²y - 2a - 3y = 1

Ta có hệ phương trình:
3a²y - 2a - 3y = 1
x + 3y = 1

Với a = -1, ta có:
3(-1)²y - 2(-1) - 3y = 1
3y + 2 - 3y = 1
2 = 1

Vậy, với a = -1, hệ phương trình không có nghiệm.

Với b = a = 0, ta có:
3(0)²y - 2(0) - 3y = 1
-3y = 1
y = -1/3

Thay y = -1/3 vào phương trình x + 3y = 1:
x + 3(-1/3) = 1
x - 1 = 1
x = 2

Vậy, với b = a = 0, ta có nghiệm x = 2, y = -1/3.

Với a = 1, ta có:
3(1)²y - 2(1) - 3y = 1
3y - 2 - 3y = 1
-2 = 1

Vậy, với a = 1, hệ phương trình không có nghiệm.