Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \(7x + 5y = 143\), chúng ta cần tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho phương trình được thỏa mãn.

Trước hết, ta viết lại phương trình:
\[ 7x + 5y = 143 \]

Ta có thể sử dụng phương pháp thử và sai để tìm các cặp nghiệm nguyên \( (x, y) \). Cụ thể, ta sẽ biến đổi phương trình để tìm y theo x và ngược lại, sau đó kiểm tra các giá trị nguyên.

Chúng ta viết lại phương trình để biểu diễn y theo x:
\[ 5y = 143 - 7x \]
\[ y = \frac{143 - 7x}{5} \]

Để y là số nguyên, tử số của phân số phải chia hết cho 5. Do đó, chúng ta cần kiểm tra \(143 - 7x \equiv 0 \pmod{5}\).

Ta có:
\[ 143 \equiv 3 \pmod{5} \]
\[ -7x \equiv -2x \pmod{5} \]

Do đó, phương trình trở thành:
\[ 3 - 2x \equiv 0 \pmod{5} \]
\[ -2x \equiv -3 \pmod{5} \]
\[ 2x \equiv 3 \pmod{5} \]

Ta cần tìm x sao cho:
\[ x \equiv 2^{-1} \cdot 3 \pmod{5} \]

Tìm nghịch đảo của 2 modulo 5:
\[ 2^{-1} \equiv 3 \pmod{5} \]
(Do \(2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}\))

Do đó, phương trình trở thành:
\[ x \equiv 3 \cdot 3 \pmod{5} \]
\[ x \equiv 9 \pmod{5} \]
\[ x \equiv 4 \pmod{5} \]

Nghĩa là \( x = 5k + 4 \) với k là số nguyên.

Thay x vào phương trình ban đầu để tìm y:
\[ y = \frac{143 - 7(5k + 4)}{5} \]
\[ y = \frac{143 - 35k - 28}{5} \]
\[ y = \frac{115 - 35k}{5} \]
\[ y = 23 - 7k \]

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là:
\[ x = 5k + 4 \]
\[ y = 23 - 7k \]

Với k là số nguyên bất kỳ.

Một số nghiệm cụ thể khi thay các giá trị của k:
- Khi \( k = 0 \): \( (x, y) = (4, 23) \)
- Khi \( k = 1 \): \( (x, y) = (9, 16) \)
- Khi \( k = -1 \): \( (x, y) = (-1, 30) \)

Vậy, nghiệm nguyên của phương trình \( 7x + 5y = 143 \) là các cặp \((x, y) = (5k + 4, 23 - 7k)\) với k là số nguyên.

...Xem thêm

Answer 2