Bài giải:

a, 

Vẽ hình

[asy]unitsize(1.5 cm);pair A, B, M, N, O;O = (0,0);A = dir(110);B = dir(110)/2;M = intersectionpoint(arc(O,1,0,180),A + dir(110 - 90)--A + dir(110 + 90));N = intersectionpoint(arc(O,1,180,360),A + dir(110 - 90)--A + dir(110 + 90));draw(Circle(O,1));draw(A--B--M--cycle);draw(A--B--N--cycle);draw(O--A);draw(O--M);draw(O--N);label("$A$", A, N);label("$B$", B, SE);label("$M$", M, NW);label("$N$", N, S);label("$O$", O, S);label("$R$", (O + M)/2, NW);[/asy]

Ta có:

$OA = OB = R$ (bán kính đường tròn)

A là trung điểm của OB (giả thiết)

Suy ra: $OA = AB = BO = \frac{R}{2}$

Xét tam giác OMB, ta có:

$OM = OB = R$

$AB = \frac{R}{2}$

Suy ra: AB là đường trung tuyến ứng với cạnh OM.

Mà tam giác OMB cân tại O (do OM = OB)

Nên AB cũng là đường phân giác của góc $\widehat{MOB}$

Suy ra: $\widehat{ABO} = \widehat{MBA}$

Tương tự, ta chứng minh được $\widehat{ABN} = \widehat{NBA}$

Do BM và BN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

$\widehat{OMB} = 90^\circ$

$\widehat{ONB} = 90^\circ$

Xét tứ giác OMBN, ta có:

$\widehat{OMB} + \widehat{ONB} = 180^\circ$

Suy ra: Tứ giác OMBN là tứ giác nội tiếp.

Từ đó, ta có: $\widehat{MBN} + \widehat{MON} = 180^\circ$

Mà $\widehat{MON} = 2\widehat{AOB}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Nên $\widehat{MBN} = 180^\circ - 2\widehat{AOB}$

Xét tam giác OAB, ta có: $OA = AB = BO = \frac{R}{2}$

Suy ra: Tam giác OAB đều.

Nên $\widehat{AOB} = 60^\circ$

Thay vào trên, ta được: $\widehat{MBN} = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OMB vuông tại M, ta có:

$BM = \sqrt{OB^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - (\frac{R}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}R$

b, Tứ giác AMON là hình gì? Vì sao?

Ta có:

$\widehat{MAO} = \widehat{NAO} = \frac{1}{2} \widehat{MAN} = 30^\circ$ (do AO là phân giác của góc MAN)

$\widehat{AMO} = \widehat{ANO} = 90^\circ$

Xét hai tam giác vuông AMO và ANO, ta có:

AO chung

$\widehat{MAO} = \widehat{NAO}$

Suy ra: $\triangle AMO = \triangle ANO$ (cạnh huyền - góc nhọn)

Nên AM = AN và OM = ON

Do đó, tứ giác AMON là hình thoi (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau).

c, Tính độ dài đoạn thẳng OH theo R với H là giao điểm của OA và MN

Xét tam giác AMO vuông tại M, ta có:

$\widehat{MAO} = 30^\circ$

$AO = R$

Suy ra: $AM = AO \cdot sin \widehat{MAO} = R \cdot sin 30^\circ = \frac{R}{2}$

Do AMON là hình thoi nên MN vuông góc với AO tại H, đồng thời H là trung điểm của MN và AO.

Xét tam giác AHM vuông tại H, ta có:

$AM = \frac{R}{2}$

$AH = \frac{AO}{2} = \frac{R}{2}$

Suy ra: $HM = \sqrt{AM^2 - AH^2} = 0$

Do đó: H trùng với M, hay $OH = OM = R$

Vậy, độ dài đoạn thẳng OH là R.