Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E.1) Chứng minh: AB2AC2=BHCH sau đó suy ra AB4AC4=BH2CH22) Chứng minh AB3AC3=BDCE

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Kẻ HD vuông góc với AB tại D v

Bảo Nghi Lê Trần Hỏi từ APP VIETJACK

· 00:57 27/06/2024

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E.
1) Chứng minh: $\frac{A B^{2}}{A C^{2}} = \frac{B H}{C H}$ sau đó suy ra $\frac{A B^{4}}{A C^{4}} = \frac{B H^{2}}{C H^{2}}$
2) Chứng minh $\frac{A B^{3}}{A C^{3}} = \frac{B D}{C E}$

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 1679

lyli

1 năm trước

### Phân tích đề bài

- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
- $AH$ là đường cao.
- $HD$ vuông góc với $AB$ tại $D$.
- $HE$ vuông góc với $AC$ tại $E$.

### 1) Chứng minh $ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH}{CH} $

**Bước 1: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông**

Trong tam giác vuông $ABC$, các hệ thức lượng liên quan đến đường cao $AH$ là:
\[ AH^2 = BH \cdot CH \]

**Bước 2: Chứng minh $ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH}{CH} $**

Ta có:
\[ AB^2 = BH + AH \]
\[ AC^2 = CH + AH \]

Do đó:
\[ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH + AH}{CH + AH} \]

Nhưng do $AH^2 = BH \cdot CH$, suy ra:
\[ AH = \sqrt{BH \cdot CH} \]

Nên:
\[ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH + \sqrt{BH \cdot CH}}{CH + \sqrt{BH \cdot CH}} \]

Vì $AH$ là đường cao, nên ta có một cách đơn giản hơn để chứng minh:
\[ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH \cdot AC^2}{CH \cdot AB^2} \]
Vì:
\[ AB \cdot AC = BC \cdot AH \]
Nên ta có:
\[ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH}{CH} \]

**Suy ra:**

Ta có:
\[ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH}{CH} \]
Suy ra:
\[ \left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2 = \left(\frac{BH}{CH}\right)^2 \]
Tức là:
\[ \frac{AB^4}{AC^4} = \frac{BH^2}{CH^2} \]

### 2) Chứng minh $ \frac{AB^3}{AC^3} = \frac{BD}{CE} $

**Bước 1: Sử dụng tam giác đồng dạng**

Xét tam giác $ABD$ và $ACE$, vì $HD \perp AB$ và $HE \perp AC$, ta có các tam giác đồng dạng:

- Tam giác $ABD$ đồng dạng với tam giác $ACE$.
- $\angle ABD = \angle ACE$.
- $\angle ADB = \angle AEC$.

**Bước 2: Tỉ lệ các cạnh**

Từ tính chất tam giác đồng dạng:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} \]

**Bước 3: Chứng minh $ \frac{AB^3}{AC^3} = \frac{BD}{CE} $**

Ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} \]

Nên:
\[ \frac{AB^3}{AC^3} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^3 = \left(\frac{BD}{CE}\right) = \frac{BD}{CE} \]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được:
\[ \frac{AB^3}{AC^3} = \frac{BD}{CE} \]

### Tóm lại
1. Đã chứng minh được:
\[ \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH}{CH} \]
và suy ra:
\[ \frac{AB^4}{AC^4} = \frac{BH^2}{CH^2} \]

2. Đã chứng minh được:
\[ \frac{AB^3}{AC^3} = \frac{BD}{CE} \]

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

thanh pham

1 năm trước

Để chứng minh rằng ( \angle BAC = \angle BHC ), ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đều. Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có ( \angle BAC = 90^\circ ). Vì tam giác BHC cũng vuông tại H, nên ( \angle BHC = 90^\circ ). Do đó, ( \angle BAC = \angle BHC ).

Để chứng minh rằng ( \angle BAC = \angle BHC ) suy ra ( AB^2 = AC^2 = BH \cdot CH ), ta có thể sử dụng định lí Pythagore và tính chất của đường cao trong tam giác vuông.

Để chứng minh ( \angle BAC = \angle BHC ) suy ra ( AB^4 = AC^4 = BH^2 \cdot CH^2 ), ta cũng có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đều.

Để chứng minh ( \angle BAC = \angle BHD = \angle CHE ), ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đều.

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn muốn hỏi bài tập?