Cho hệ pt |(2m+1)x-3y=3m-2 |(m+3)x-(m+1)y=2m a,Tìm m để có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x>2y b,Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) sao cho p=x mũ 2+3y mũ 2. Đạt giá trị nhỏ nhất

Thanh Nguyễn Hỏi từ APP VIETJACK

· 14:48 21/06/2024

Cho hệ pt
|(2m+1)x-3y=3m-2
|(m+3)x-(m+1)y=2m
a,Tìm m để có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x>2y
b,Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) sao cho p=x mũ 2+3y mũ 2. Đạt giá trị nhỏ nhất

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

1 câu trả lời 1096

Sang Phạm

1 năm trước

### a) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ thỏa mãn $x > 2y$ :

Hệ phương trình đã cho:
$\begin{cases} (2m+1)x - 3y = 3m - 2 \\ (m+3)x - (m+1)y = 2m \end{cases}$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của hệ số không được bằng 0. Định thức của hệ số là:
$D = \begin{vmatrix} 2m+1 & -3 \\ m+3 & -(m+1) \end{vmatrix} = (2m+1)(-(m+1)) - (-3)(m+3) = -(2m+1)(m+1) + 3(m+3) = -2m^2 - m - 1 - 2m - 1 + 3m + 9 = -2m^2 + m + 7$

Hệ có nghiệm duy nhất khi:
$D \neq 0 \Rightarrow -2m^2 + m + 7 \neq 0$

Để giải phương trình này, ta tính nghiệm của phương trình:
$-2m^2 + m + 7 = 0$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
với $a = -2$ , $b = 1$ , và $c = 7$ :
$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 56}}{-4} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{-4}$

Vậy:
$m = \frac{-1 + \sqrt{57}}{-4} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-1 - \sqrt{57}}{-4}$

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $m$ khác các giá trị trên.

Để tìm nghiệm thỏa mãn $x > 2y$ , chúng ta phải phân tích nghiệm của hệ phương trình.

### b) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)$ sao cho $p = x^2 + 3y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất:

Ta sẽ sử dụng phương pháp giải hệ phương trình để tìm nghiệm $x$ và $y$ .

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer, tìm $x$ và $y$ :
$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}$
với $D_x$ và $D_y$ là định thức khi thay cột phải vào vị trí của $x$ và $y$ .

Trước tiên, tính $D_x$ :
$D_x = \begin{vmatrix} 3m-2 & -3 \\ 2m & -(m+1) \end{vmatrix} = (3m-2)(-(m+1)) - (-3)(2m) = -3m^2 - 3m - 2m - 2 + 6m = -3m^2 + m - 2$

Và $D_y$ :
$D_y = \begin{vmatrix} 2m+1 & 3m-2 \\ m+3 & 2m \end{vmatrix} = (2m+1)(2m) - (3m-2)(m+3) = 4m^2 + 2m - 3m^2 - 9m + 6 = m^2 - 7m + 6$

Do đó:
$x = \frac{-3m^2 + m - 2}{-2m^2 + m + 7}, \quad y = \frac{m^2 - 7m + 6}{-2m^2 + m + 7}$

Chúng ta cần tìm $m$ sao cho $p = x^2 + 3y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $p$ như sau:
$p = \left(\frac{-3m^2 + m - 2}{-2m^2 + m + 7}\right)^2 + 3 \left(\frac{m^2 - 7m + 6}{-2m^2 + m + 7}\right)^2$

Để giá trị này đạt cực tiểu, ta sẽ cần tính đạo hàm và giải phương trình tương ứng để tìm giá trị nhỏ nhất. Phương pháp này yêu cầu sử dụng công cụ tính toán để tìm ra giá trị tối ưu của $m$ .

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 1096

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9