Để tìm \( m \) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện \( 2x^2 - 3y = 2 \):

Hệ phương trình đã cho là:
\[ 2x - y = m - 1 \quad \text{(1)} \]
\[ 3x + y = 4m + 1 \quad \text{(2)} \]

**Bước 1: Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm \( x \) và \( y \):**

Thêm (1) và (2) để loại bỏ \( y \):
\[ (2x - y) + (3x + y) = (m - 1) + (4m + 1) \]
\[ 5x = 5m \]
\[ x = m \]

Thay \( x = m \) vào (1):
\[ 2m - y = m - 1 \]
\[ y = 2m - (m - 1) \]
\[ y = m + 1 \]

**Bước 2: Kiểm tra điều kiện đã cho \( 2x^2 - 3y = 2 \):**

Thay \( x = m \) và \( y = m + 1 \) vào phương trình \( 2x^2 - 3y = 2 \):
\[ 2(m)^2 - 3(m + 1) = 2 \]
\[ 2m^2 - 3m - 3 = 2 \]
\[ 2m^2 - 3m - 5 = 0 \]

**Bước 3: Giải phương trình bậc hai để tìm \( m \):**

Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), với \( a = 2, b = -3, c = -5 \):
\[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} \]
\[ m = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} \]
\[ m = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} \]
\[ m = \frac{3 \pm 7}{4} \]

Ta có hai giá trị của \( m \):
\[ m_1 = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ m_2 = \frac{-4}{4} = -1 \]

Vậy, để hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) \) thoả mãn \( 2x^2 - 3y = 2 \), các giá trị \( m \) cần tìm là \( \boxed{2.5 \text{ và } -1} \).

Để tìm \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện đã cho, ta cần giải hệ phương trình và điều kiện bổ sung.

Hệ phương trình:

1. \( 2x - y = m - 1 \)
2. \( 3x + y = 4m + 1 \)

Điều kiện bổ sung:

\( 2x^2 - 3y = 2 \)

Đầu tiên, ta cộng hai phương trình của hệ để khử \( y \):

\[ 2x - y + 3x + y = (m - 1) + (4m + 1) \]

Điều này dẫn đến:

\[ 5x = 5m \]

\[ x = m \]

Thay \( x = m \) vào phương trình thứ nhất của hệ để tìm \( y \):

\[ 2m - y = m - 1 \]

\[ y = 2m - (m - 1) \]

\[ y = m + 1 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (m, m + 1) \).

Tiếp theo, ta thay \( x = m \) và \( y = m + 1 \) vào điều kiện bổ sung để tìm \( m \):

\[ 2x^2 - 3y = 2 \]

\[ 2m^2 - 3(m + 1) = 2 \]

Giải phương trình này:

\[ 2m^2 - 3m - 3 = 2 \]

\[ 2m^2 - 3m - 5 = 0 \]

Ta giải phương trình bậc hai này để tìm \( m \):

\[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Ở đây, \( a = 2 \), \( b = -3 \), và \( c = -5 \):

\[ m = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} \]

\[ m = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} \]

\[ m = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} \]

\[ m = \frac{3 \pm 7}{4} \]

Vậy ta có hai nghiệm:

\[ m = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]

\[ m = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Vậy, giá trị của \( m \) là \( m = 2.5 \) hoặc \( m = -1 \).