Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên âm của tham số \( m \) để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
\[
\begin{cases}
mx + 2y = m + 1 \\
2x + my = 2m - 1
\end{cases}
\]

Đầu tiên, ta cần xác định điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn số có dạng:
\[
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
\]
có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của hệ phương trình khác 0, tức là:
\[
\Delta = a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0
\]

Áp dụng vào hệ phương trình đã cho, ta có:
\[
a_1 = m, \quad b_1 = 2, \quad c_1 = m + 1
\]
\[
a_2 = 2, \quad b_2 = m, \quad c_2 = 2m - 1
\]

Định thức của hệ là:
\[
\Delta = m \cdot m - 2 \cdot 2 = m^2 - 4
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần điều kiện:
\[
m^2 - 4 \neq 0 \implies m^2 \neq 4 \implies m \neq \pm 2
\]

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem với các giá trị \( m \neq \pm 2 \), hệ phương trình có nghiệm nguyên hay không. Ta sẽ giải hệ phương trình:

Giải phương trình thứ nhất theo \( y \):
\[
y = \frac{m + 1 - mx}{2}
\]

Thế \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[
2x + m\left(\frac{m + 1 - mx}{2}\right) = 2m - 1
\]
\[
2x + \frac{m(m + 1 - mx)}{2} = 2m - 1
\]
\[
4x + m(m + 1 - mx) = 4(2m - 1)
\]
\[
4x + m^2 + m - m^2 x = 8m - 4
\]
\[
4x - m^2 x + m^2 + m = 8m - 4
\]
\[
x(4 - m^2) = 8m - 4 - m^2 - m
\]
\[
x = \frac{8m - 4 - m^2 - m}{4 - m^2}
\]

Để \( x \) nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số, nghĩa là:
\[
\frac{8m - 4 - m^2 - m}{4 - m^2} \text{ là số nguyên}
\]

Với \( y \) nguyên, ta có:
\[
y = \frac{m + 1 - mx}{2}
\]
cũng phải là số nguyên.

Bây giờ ta kiểm tra các giá trị nguyên âm của \( m \):
- \( m = -3 \):
\[
\Delta = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \neq 0
\]
\[
\begin{cases}
-3x + 2y = -2 \\
2x - 3y = -7
\end{cases}
\]
Giải hệ:
\[
x = -1, y = -1
\]
- \( m = -1 \):
\[
\Delta = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 \neq 0
\]
\[
\begin{cases}
-x + 2y = 0 \\
2x - y = -3
\end{cases}
\]
Giải hệ:
\[
x = -1, y = -1
\]

Vậy có 2 giá trị nguyên âm của \( m \) là \( m = -3 \) và \( m = -1 \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

Kết luận: Có 2 giá trị nguyên âm của tham số \( m \).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên âm của tham số m𝑚 để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
{mx+2y=m+12x+my=2m−1{𝑚𝑥+2𝑦=𝑚+12𝑥+𝑚𝑦=2𝑚−1

Đầu tiên, ta cần xác định điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn số có dạng:
{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2{𝑎1𝑥+𝑏1𝑦=𝑐1𝑎2𝑥+𝑏2𝑦=𝑐2
có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của hệ phương trình khác 0, tức là:
Δ=a1b2−a2b1≠0Δ=𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1≠0

Áp dụng vào hệ phương trình đã cho, ta có:
a1=m,b1=2,c1=m+1𝑎1=𝑚,𝑏1=2,𝑐1=𝑚+1
a2=2,b2=m,c2=2m−1𝑎2=2,𝑏2=𝑚,𝑐2=2𝑚−1

Định thức của hệ là:
Δ=m⋅m−2⋅2=m2−4Δ=𝑚⋅𝑚−2⋅2=𝑚2−4

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần điều kiện:
m2−4≠0⟹m2≠4⟹m≠±2𝑚2−4≠0⟹𝑚2≠4⟹𝑚≠±2

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem với các giá trị m≠±2𝑚≠±2, hệ phương trình có nghiệm nguyên hay không. Ta sẽ giải hệ phương trình:

Giải phương trình thứ nhất theo y𝑦:
y=m+1−mx2𝑦=𝑚+1−𝑚𝑥2

Thế y𝑦 vào phương trình thứ hai:
2x+m(m+1−mx2)=2m−12𝑥+𝑚(𝑚+1−𝑚𝑥2)=2𝑚−1
2x+m(m+1−mx)2=2m−12𝑥+𝑚(𝑚+1−𝑚𝑥)2=2𝑚−1
4x+m(m+1−mx)=4(2m−1)4𝑥+𝑚(𝑚+1−𝑚𝑥)=4(2𝑚−1)
4x+m2+m−m2x=8m−44𝑥+𝑚2+𝑚−𝑚2𝑥=8𝑚−4
4x−m2x+m2+m=8m−44𝑥−𝑚2𝑥+𝑚2+𝑚=8𝑚−4
x(4−m2)=8m−4−m2−m𝑥(4−𝑚2)=8𝑚−4−𝑚2−𝑚
x=8m−4−m2−m4−m2𝑥=8𝑚−4−𝑚2−𝑚4−𝑚2

Để x𝑥 nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số, nghĩa là:
8m−4−m2−m4−m2 là số nguyên8𝑚−4−𝑚2−𝑚4−𝑚2 là số nguyên

Với y𝑦 nguyên, ta có:
y=m+1−mx2𝑦=𝑚+1−𝑚𝑥2
cũng phải là số nguyên.

Bây giờ ta kiểm tra các giá trị nguyên âm của m𝑚:
- m=−3𝑚=−3:
Δ=(−3)2−4=9−4=5≠0Δ=(−3)2−4=9−4=5≠0
{−3x+2y=−22x−3y=−7{−3𝑥+2𝑦=−22𝑥−3𝑦=−7
Giải hệ:
x=−1,y=−1𝑥=−1,𝑦=−1
- m=−1𝑚=−1:
Δ=(−1)2−4=1−4=−3≠0Δ=(−1)2−4=1−4=−3≠0
{−x+2y=02x−y=−3{−𝑥+2𝑦=02𝑥−𝑦=−3
Giải hệ:
x=−1,y=−1𝑥=−1,𝑦=−1

Vậy có 2 giá trị nguyên âm của m𝑚 là m=−3𝑚=−3 và m=−1𝑚=−1 để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

Kết luận: Có 2 giá trị nguyên âm của tham số m𝑚.