Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:

### Câu a)

Chứng minh rằng đường thẳng \((d)\) luôn cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

Parabol \((P)\): \( y = x^2 \)

Đường thẳng \((d)\): \( y = 2(\ln m + 1)x - 2\ln m \)

Để tìm giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\), ta giải hệ phương trình:

\[ x^2 = 2(\ln m + 1)x - 2\ln m \]

Chuyển tất cả các hạng tử sang một bên của phương trình:

\[ x^2 - 2(\ln m + 1)x + 2\ln m = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai có dạng:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Trong đó \( a = 1 \), \( b = -2(\ln m + 1) \), \( c = 2\ln m \).

Để đường thẳng \((d)\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt, phương trình bậc hai này phải có hai nghiệm phân biệt. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là:

\[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \]

Với:

\[ b = -2(\ln m + 1) \]

\[ c = 2\ln m \]

Ta có:

\[ \Delta = (-2(\ln m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \ln m \]

\[ \Delta = 4(\ln m + 1)^2 - 8\ln m \]

\[ \Delta = 4((\ln m)^2 + 2\ln m + 1) - 8\ln m \]

\[ \Delta = 4(\ln m)^2 + 8\ln m + 4 - 8\ln m \]

\[ \Delta = 4(\ln m)^2 + 4 \]

\[ \Delta = 4((\ln m)^2 + 1) \]

Ta thấy rằng \(\Delta > 0\) với mọi giá trị của \( m > 0 \) vì \((\ln m)^2 + 1 > 0\) cho mọi \( m > 0 \).

Vậy đường thẳng \((d)\) luôn cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

### Câu b)

Tìm tất cả các giá trị của \( m \) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{2}\).

Dựa vào phương trình bậc hai:

\[ x^2 - 2(\ln m + 1)x + 2\ln m = 0 \]

Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là các nghiệm của phương trình này. Theo định lý Vi-et, ta có:

\[ x_1 + x_2 = 2(\ln m + 1) \]

\[ x_1x_2 = 2\ln m \]

Đề bài yêu cầu:

\[ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{2} \]

Đặt \( \sqrt{x_1} = a \) và \( \sqrt{x_2} = b \), ta có:

\[ a + b = \sqrt{2} \]

\[ a^2 = x_1 \]

\[ b^2 = x_2 \]

Theo định lý Vi-et, ta có:

\[ x_1 + x_2 = a^2 + b^2 = 2(\ln m + 1) \]

\[ a^2b^2 = x_1x_2 = 2\ln m \]

Suy ra:

\[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \]

\[ (\sqrt{2})^2 = 2(\ln m + 1) + 2ab \]

\[ 2 = 2(\ln m + 1) + 2ab \]

Chia cả hai vế cho 2:

\[ 1 = \ln m + 1 + ab \]

\[ ab = 1 - \ln m \]

Nhưng \( ab \) cũng phải thỏa mãn điều kiện từ tích của Vi-et:

\[ ab = \sqrt{x_1x_2} = \sqrt{2\ln m} \]

Nên ta có phương trình:

\[ \sqrt{2\ln m} = 1 - \ln m \]

Bình phương hai vế:

\[ 2\ln m = (1 - \ln m)^2 \]

\[ 2\ln m = 1 - 2\ln m + (\ln m)^2 \]

Chuyển tất cả các hạng tử sang một bên:

\[ (\ln m)^2 - 4\ln m + 1 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:

\[ t = \ln m \]

\[ t^2 - 4t + 1 = 0 \]

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} \]

\[ t = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \]

\[ t = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \]

\[ t = 2 \pm \sqrt{3} \]

Do \( t = \ln m \):

\[ \ln m = 2 + \sqrt{3} \]

\[ \ln m = 2 - \sqrt{3} \]

Suy ra:

\[ m = e^{2 + \sqrt{3}} \]

\[ m = e^{2 - \sqrt{3}} \]

Vậy các giá trị của \( m \) thỏa mãn điều kiện là \( m = e^{2 + \sqrt{3}} \) hoặc \( m = e^{2 - \sqrt{3}} \).