### Câu 2: Giao điểm của Parabol và Đường thẳng

Cho parabol \( (P): y = x^2 \) và đường thẳng \( d: y = 2x + |m| + 1 \).

#### a) Chứng minh đường thẳng \( d \) luôn cắt \( (P) \) tại 2 điểm phân biệt.

Giao điểm của \( (P) \) và \( d \) được xác định bằng cách giải hệ phương trình:

\[ x^2 = 2x + |m| + 1 \]

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế để có phương trình bậc hai:

\[ x^2 - 2x - (|m| + 1) = 0 \]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần kiểm tra điều kiện của biệt thức (Δ):

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = -(|m| + 1) \), ta có:

\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(|m| + 1)) \]

\[ \Delta = 4 + 4(|m| + 1) \]

\[ \Delta = 4 + 4|m| + 4 \]

\[ \Delta = 8 + 4|m| \]

Vì \( \Delta = 8 + 4|m| \) luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của \( m \), nên phương trình \( x^2 - 2x - (|m| + 1) = 0 \) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do đó, đường thẳng \( d \) luôn cắt parabol \( (P) \) tại 2 điểm phân biệt.

#### b) Tìm \( m \) để đường thẳng \( d \) cắt \( (P) \) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \( x_1, x_2 \) (với \( x_1 < x_2 \)) thỏa mãn \(|x_1 \cdot x_2| + |x_2| - |x_1| = 8 \)

Ta sử dụng nghiệm của phương trình bậc hai để tìm \( x_1 \) và \( x_2 \). 

Nghiệm của phương trình \( x^2 - 2x - (|m| + 1) = 0 \) là:

\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8 + 4|m|}}{2} \]

\[ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2 + |m|} \]

Giả sử \( x_1 = 1 - \sqrt{2 + |m|} \) và \( x_2 = 1 + \sqrt{2 + |m|} \).

Ta kiểm tra điều kiện thỏa mãn:

\[ |x_1 \cdot x_2| + |x_2| - |x_1| = 8 \]

Tính tích \( x_1 \cdot x_2 \):

\[ x_1 \cdot x_2 = (1 - \sqrt{2 + |m|})(1 + \sqrt{2 + |m|}) \]

\[ x_1 \cdot x_2 = 1^2 - (\sqrt{2 + |m|})^2 \]

\[ x_1 \cdot x_2 = 1 - (2 + |m|) \]

\[ x_1 \cdot x_2 = -1 - |m| \]

Tính giá trị tuyệt đối:

\[ |x_1 \cdot x_2| = | -1 - |m|| = 1 + |m| \]

Tính giá trị tuyệt đối của \( x_1 \) và \( x_2 \):

\[ |x_2| = 1 + \sqrt{2 + |m|} \]

\[ |x_1| = |1 - \sqrt{2 + |m|}| \]

Có hai trường hợp:

1. Nếu \( 1 \geq \sqrt{2 + |m|} \):

\[ |x_1| = 1 - \sqrt{2 + |m|} \]

2. Nếu \( 1 < \sqrt{2 + |m|} \):

\[ |x_1| = \sqrt{2 + |m|} - 1 \]

Trường hợp 1: \( 1 \geq \sqrt{2 + |m|} \):

Tổng cộng:

\[ |x_1 \cdot x_2| + |x_2| - |x_1| = (1 + |m|) + (1 + \sqrt{2 + |m|}) - (1 - \sqrt{2 + |m|}) \]

\[ = 1 + |m| + 1 + \sqrt{2 + |m|} - 1 + \sqrt{2 + |m|} \]

\[ = |m| + 2 + 2\sqrt{2 + |m|} \]

Để điều kiện này thỏa mãn \( 8 \):

\[ |m| + 2 + 2\sqrt{2 + |m|} = 8 \]

\[ |m| + 2\sqrt{2 + |m|} = 6 \]

\[ 2\sqrt{2 + |m|} = 6 - |m| \]

\[ \sqrt{2 + |m|} = \frac{6 - |m|}{2} \]

\[ 2 + |m| = \left(\frac{6 - |m|}{2}\right)^2 \]

\[ 2 + |m| = \frac{(6 - |m|)^2}{4} \]

\[ 8 + 4|m| = (6 - |m|)^2 \]

\[ 8 + 4|m| = 36 - 12|m| + |m|^2 \]

\[ |m|^2 - 16|m| + 28 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:

\[ |m| = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 28}}{2} \]

\[ |m| = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 112}}{2} \]

\[ |m| = \frac{16 \pm \sqrt{144}}{2} \]

\[ |m| = \frac{16 \pm 12}{2} \]

\[ |m| = 14 \text{ hoặc } 2 \]

Vậy các giá trị của \( m \) để thỏa mãn điều kiện là \( m = \pm 14 \) hoặc \( m = \pm 2 \).