Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải phương trình \(x^2 - (m+2)x + m + 8 = 0\) (1) với \(m\) là tham số, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### Phần a: Giải phương trình với \(m = -8\)

Thay \(m = -8\) vào phương trình (1):
\[ x^2 - ((-8) + 2)x + (-8) + 8 = 0 \]
\[ x^2 - (-6)x = 0 \]
\[ x^2 + 6x = 0 \]

Ta có thể đưa phương trình về dạng:
\[ x(x + 6) = 0 \]

Từ đó, ta có hai nghiệm:
\[ x = 0 \]
\[ x = -6 \]

### Phần b: Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^3 - 2x_1 = 0\)

#### Bước 1: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\[ \Delta = (m + 2)^2 - 4(m + 8) > 0 \]

Tính \(\Delta\):
\[ \Delta = (m + 2)^2 - 4(m + 8) \]
\[ \Delta = m^2 + 4m + 4 - 4m - 32 \]
\[ \Delta = m^2 - 28 \]

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ m^2 - 28 > 0 \]
\[ m^2 > 28 \]
\[ |m| > \sqrt{28} \]
\[ m > 2\sqrt{7} \text{ hoặc } m < -2\sqrt{7} \]

#### Bước 2: Điều kiện để cả hai nghiệm đều dương

Theo định lý Viète, tổng hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\):
\[ x_1 + x_2 = m + 2 \]

Vì \(x_1\) và \(x_2\) đều dương:
\[ m + 2 > 0 \]
\[ m > -2 \]

#### Bước 3: Điều kiện để \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^3 - 2x_1 = 0\)

Từ \(x_1^3 - 2x_1 = 0\), ta có:
\[ x_1(x_1^2 - 2) = 0 \]
Do \(x_1 \neq 0\) (vì \(x_1\) là nghiệm dương), nên:
\[ x_1^2 = 2 \]
\[ x_1 = \sqrt{2} \]

Từ định lý Viète, tích hai nghiệm:
\[ x_1 x_2 = m + 8 \]

Thay \(x_1 = \sqrt{2}\):
\[ \sqrt{2} x_2 = m + 8 \]
\[ x_2 = \frac{m + 8}{\sqrt{2}} \]

Vì \(x_2\) là nghiệm dương:
\[ \frac{m + 8}{\sqrt{2}} > 0 \]
\[ m + 8 > 0 \]
\[ m > -8 \]

### Tổng hợp các điều kiện

1. \(m > 2\sqrt{7} \text{ hoặc } m < -2\sqrt{7}\)
2. \(m > -2\)
3. \(m > -8\)

Từ các điều kiện trên, ta có:
\[ m < -2\sqrt{7} \text{ hoặc } m > 2\sqrt{7} \]

Kết hợp với điều kiện \(m > -2\) và \(m > -8\):
\[ m > 2\sqrt{7} \]

### Kết luận

Các giá trị của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^3 - 2x_1 = 0\) là:
\[ m > 2\sqrt{7} \]

...Xem thêm

Answer 2