Để tìm giá trị của \( m \) để phương trình \( x^2 - 2x + m - 3 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) sao cho biểu thức \( M = x_1^2 + x_2^2 + (x_1 x_2)^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng các định lý và công thức về nghiệm của phương trình bậc hai.

Đầu tiên, từ phương trình \( x^2 - 2x + m - 3 = 0 \), theo định lý Viète, ta có:
- Tổng hai nghiệm: \( x_1 + x_2 = 2 \)
- Tích hai nghiệm: \( x_1 x_2 = m - 3 \)

Biểu thức \( M \) có thể được viết lại dưới dạng:
\[ M = x_1^2 + x_2^2 + (x_1 x_2)^2 \]

Ta biết rằng:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \]

Thay các giá trị từ định lý Viète vào:
\[ x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2(x_1 x_2) = 4 - 2(x_1 x_2) \]

Do đó:
\[ M = (4 - 2(x_1 x_2)) + (x_1 x_2)^2 \]
\[ M = 4 - 2(x_1 x_2) + (x_1 x_2)^2 \]

Đặt \( t = x_1 x_2 \), ta có:
\[ M = 4 - 2t + t^2 \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \), ta tìm đạo hàm của \( M \) theo \( t \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0:
\[ M = t^2 - 2t + 4 \]
\[ M' = 2t - 2 \]
\[ 2t - 2 = 0 \]
\[ t = 1 \]

Giá trị này là điểm cực trị của \( M \). Để xác định đây là cực tiểu, ta xét đạo hàm bậc hai:
\[ M'' = 2 \]

Vì \( M'' > 0 \), nên \( M \) đạt giá trị cực tiểu tại \( t = 1 \).

Do \( t = x_1 x_2 = m - 3 \), ta có:
\[ m - 3 = 1 \]
\[ m = 4 \]

Vậy giá trị của \( m \) để phương trình \( x^2 - 2x + m - 3 = 0 \) có hai nghiệm sao cho biểu thức \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( m = 4 \).

Khi \( m = 4 \):
\[ M = 4 - 2 \cdot 1 + 1^2 = 4 - 2 + 1 = 3 \]

Vậy \( m = 4 \) và giá trị nhỏ nhất của \( M \) là 3.

Để tìm giá trị của m𝑚 để phương trình x2−2x+m−3=0𝑥2−2𝑥+𝑚−3=0 có hai nghiệm x1𝑥1 và x2𝑥2 sao cho biểu thức M=x21+x22+(x1x2)2𝑀=𝑥12+𝑥22+(𝑥1𝑥2)2 đạt giá trị nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng các định lý và công thức về nghiệm của phương trình bậc hai.

Đầu tiên, từ phương trình x2−2x+m−3=0𝑥2−2𝑥+𝑚−3=0, theo định lý Viète, ta có:
- Tổng hai nghiệm: x1+x2=2𝑥1+𝑥2=2
- Tích hai nghiệm: x1x2=m−3𝑥1𝑥2=𝑚−3

Biểu thức M𝑀 có thể được viết lại dưới dạng:
M=x21+x22+(x1x2)2𝑀=𝑥12+𝑥22+(𝑥1𝑥2)2

Ta biết rằng:
x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2𝑥12+𝑥22=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2

Thay các giá trị từ định lý Viète vào:
x21+x22=22−2(x1x2)=4−2(x1x2)𝑥12+𝑥22=22−2(𝑥1𝑥2)=4−2(𝑥1𝑥2)

Do đó:
M=(4−2(x1x2))+(x1x2)2𝑀=(4−2(𝑥1𝑥2))+(𝑥1𝑥2)2
M=4−2(x1x2)+(x1x2)2𝑀=4−2(𝑥1𝑥2)+(𝑥1𝑥2)2

Đặt t=x1x2𝑡=𝑥1𝑥2, ta có:
M=4−2t+t2𝑀=4−2𝑡+𝑡2

Để tìm giá trị nhỏ nhất của M𝑀, ta tìm đạo hàm của M𝑀 theo t𝑡 và giải phương trình đạo hàm bằng 0:
M=t2−2t+4𝑀=𝑡2−2𝑡+4
M′=2t−2𝑀′=2𝑡−2
2t−2=02𝑡−2=0
t=1𝑡=1

Giá trị này là điểm cực trị của M𝑀. Để xác định đây là cực tiểu, ta xét đạo hàm bậc hai:
M′′=2𝑀″=2

Vì M′′>0𝑀″>0, nên M𝑀 đạt giá trị cực tiểu tại t=1𝑡=1.

Do t=x1x2=m−3𝑡=𝑥1𝑥2=𝑚−3, ta có:
m−3=1𝑚−3=1
m=4𝑚=4

Vậy giá trị của m𝑚 để phương trình x2−2x+m−3=0𝑥2−2𝑥+𝑚−3=0 có hai nghiệm sao cho biểu thức M𝑀 đạt giá trị nhỏ nhất là m=4𝑚=4.

Khi m=4𝑚=4:
M=4−2⋅1+12=4−2+1=3𝑀=4−2⋅1+12=4−2+1=3

Vậy m=4𝑚=4 và giá trị nhỏ nhất của M𝑀 là 3.
 Cảm ơn  0 bình luận