Để tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ \((0, 0)\) đến đường thẳng \( (d) : y = (m-2)x - m + 3 \) bằng \( \sqrt{2} \), ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Đầu tiên, viết phương trình đường thẳng \( y = (m-2)x - m + 3 \) dưới dạng tổng quát \( Ax + By + C = 0 \):

\[ (m-2)x - y - (m-3) = 0 \]

Ở đây, ta có:
\[ A = m-2 \]
\[ B = -1 \]
\[ C = -(m-3) \]

Khoảng cách từ điểm \((x_1, y_1)\) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) được tính theo công thức:

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Trong trường hợp này, \( (x_1, y_1) = (0, 0) \), nên công thức khoảng cách trở thành:

\[ d = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Thay các giá trị \( A \), \( B \), và \( C \) vào:

\[ d = \frac{|-(m-3)|}{\sqrt{(m-2)^2 + (-1)^2}} \]

\[ d = \frac{|m-3|}{\sqrt{(m-2)^2 + 1}} \]

Theo đề bài, khoảng cách \( d \) này bằng \( \sqrt{2} \):

\[ \frac{|m-3|}{\sqrt{(m-2)^2 + 1}} = \sqrt{2} \]

Bình phương cả hai vế:

\[ \left( \frac{|m-3|}{\sqrt{(m-2)^2 + 1}} \right)^2 = (\sqrt{2})^2 \]

\[ \frac{(m-3)^2}{(m-2)^2 + 1} = 2 \]

\[ (m-3)^2 = 2((m-2)^2 + 1) \]

\[ (m-3)^2 = 2(m^2 - 4m + 4 + 1) \]

\[ (m-3)^2 = 2(m^2 - 4m + 5) \]

\[ (m-3)^2 = 2m^2 - 8m + 10 \]

\[ m^2 - 6m + 9 = 2m^2 - 8m + 10 \]

\[ 0 = m^2 - 2m + 1 \]

\[ m^2 - 2m + 1 = 0 \]

\[ (m-1)^2 = 0 \]

\[ m - 1 = 0 \]

\[ m = 1 \]

Vậy giá trị của tham số \( m \) là \( m = 1 \).

Để tìm giá trị của tham số m𝑚 sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ (0,0)(0,0) đến đường thẳng (d):y=(m−2)x−m+3(𝑑):𝑦=(𝑚−2)𝑥−𝑚+3 bằng √22, ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Đầu tiên, viết phương trình đường thẳng y=(m−2)x−m+3𝑦=(𝑚−2)𝑥−𝑚+3 dưới dạng tổng quát Ax+By+C=0𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0:

(m−2)x−y−(m−3)=0(𝑚−2)𝑥−𝑦−(𝑚−3)=0

Ở đây, ta có:
A=m−2𝐴=𝑚−2
B=−1𝐵=−1
C=−(m−3)𝐶=−(𝑚−3)

Khoảng cách từ điểm (x1,y1)(𝑥1,𝑦1) đến đường thẳng Ax+By+C=0𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 được tính theo công thức:

d=|Ax1+By1+C|√A2+B2𝑑=|𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶|𝐴2+𝐵2

Trong trường hợp này, (x1,y1)=(0,0)(𝑥1,𝑦1)=(0,0), nên công thức khoảng cách trở thành:

d=|A⋅0+B⋅0+C|√A2+B2=|C|√A2+B2𝑑=|𝐴⋅0+𝐵⋅0+𝐶|𝐴2+𝐵2=|𝐶|𝐴2+𝐵2

Thay các giá trị A𝐴, B𝐵, và C𝐶 vào:

d=|−(m−3)|√(m−2)2+(−1)2𝑑=|−(𝑚−3)|(𝑚−2)2+(−1)2

d=|m−3|√(m−2)2+1𝑑=|𝑚−3|(𝑚−2)2+1

Theo đề bài, khoảng cách d𝑑 này bằng √22:

|m−3|√(m−2)2+1=√2|𝑚−3|(𝑚−2)2+1=2

Bình phương cả hai vế:

(|m−3|√(m−2)2+1)2=(√2)2(|𝑚−3|(𝑚−2)2+1)2=(2)2

(m−3)2(m−2)2+1=2(𝑚−3)2(𝑚−2)2+1=2

(m−3)2=2((m−2)2+1)(𝑚−3)2=2((𝑚−2)2+1)

(m−3)2=2(m2−4m+4+1)(𝑚−3)2=2(𝑚2−4𝑚+4+1)

(m−3)2=2(m2−4m+5)(𝑚−3)2=2(𝑚2−4𝑚+5)

(m−3)2=2m2−8m+10(𝑚−3)2=2𝑚2−8𝑚+10

m2−6m+9=2m2−8m+10𝑚2−6𝑚+9=2𝑚2−8𝑚+10

0=m2−2m+10=𝑚2−2𝑚+1

m2−2m+1=0𝑚2−2𝑚+1=0

(m−1)2=0(𝑚−1)2=0

m−1=0𝑚−1=0

m=1𝑚=1

Vậy giá trị của tham số m𝑚 là m=1𝑚=1.

Để tìm giá trị của tham số m𝑚 sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ (0,0)(0,0) đến đường thẳng (d):y=(m−2)x−m+3(𝑑):𝑦=(𝑚−2)𝑥−𝑚+3 bằng √22, ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Đầu tiên, viết phương trình đường thẳng y=(m−2)x−m+3𝑦=(𝑚−2)𝑥−𝑚+3 dưới dạng tổng quát Ax+By+C=0𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0:

(m−2)x−y−(m−3)=0(𝑚−2)𝑥−𝑦−(𝑚−3)=0

Ở đây, ta có:
A=m−2𝐴=𝑚−2
B=−1𝐵=−1
C=−(m−3)𝐶=−(𝑚−3)

Khoảng cách từ điểm (x1,y1)(𝑥1,𝑦1) đến đường thẳng Ax+By+C=0𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 được tính theo công thức:

d=|Ax1+By1+C|√A2+B2𝑑=|𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶|𝐴2+𝐵2

Trong trường hợp này, (x1,y1)=(0,0)(𝑥1,𝑦1)=(0,0), nên công thức khoảng cách trở thành:

d=|A⋅0+B⋅0+C|√A2+B2=|C|√A2+B2𝑑=|𝐴⋅0+𝐵⋅0+𝐶|𝐴2+𝐵2=|𝐶|𝐴2+𝐵2

Thay các giá trị A𝐴, B𝐵, và C𝐶 vào:

d=|−(m−3)|√(m−2)2+(−1)2𝑑=|−(𝑚−3)|(𝑚−2)2+(−1)2

d=|m−3|√(m−2)2+1𝑑=|𝑚−3|(𝑚−2)2+1

Theo đề bài, khoảng cách d𝑑 này bằng √22:

|m−3|√(m−2)2+1=√2|𝑚−3|(𝑚−2)2+1=2

Bình phương cả hai vế:

(|m−3|√(m−2)2+1)2=(√2)2(|𝑚−3|(𝑚−2)2+1)2=(2)2

(m−3)2(m−2)2+1=2(𝑚−3)2(𝑚−2)2+1=2

(m−3)2=2((m−2)2+1)(𝑚−3)2=2((𝑚−2)2+1)

(m−3)2=2(m2−4m+4+1)(𝑚−3)2=2(𝑚2−4𝑚+4+1)

(m−3)2=2(m2−4m+5)(𝑚−3)2=2(𝑚2−4𝑚+5)

(m−3)2=2m2−8m+10(𝑚−3)2=2𝑚2−8𝑚+10

m2−6m+9=2m2−8m+10𝑚2−6𝑚+9=2𝑚2−8𝑚+10

0=m2−2m+10=𝑚2−2𝑚+1

m2−2m+1=0𝑚2−2𝑚+1=0

(m−1)2=0(𝑚−1)2=0

m−1=0𝑚−1=0

m=1𝑚=1

Vậy giá trị của tham số m𝑚 là m=1𝑚=1.