Để tính giá trị biểu thức \( E = 2x_1 + \frac{3}{x_2} + 2x_2 + \frac{3}{x_1} + 5 \) với \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình \( x^2 + 4x - 7 = 0 \), ta không cần phải giải phương trình mà chỉ cần sử dụng định lý Viète và các tính chất của nghiệm.

Theo định lý Viète, với phương trình bậc hai \( x^2 + 4x - 7 = 0 \), ta có:
\[
x_1 + x_2 = -b/a = -4
\]
\[
x_1 x_2 = c/a = -7
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \( E \).

\[
E = 2x_1 + \frac{3}{x_2} + 2x_2 + \frac{3}{x_1} + 5
\]

Ta có thể nhóm các hạng tử có liên quan lại với nhau:
\[
E = 2x_1 + 2x_2 + \frac{3}{x_2} + \frac{3}{x_1} + 5
\]

Dùng các giá trị từ định lý Viète:
\[
x_1 + x_2 = -4
\]
\[
x_1 x_2 = -7
\]

Do đó, ta tính được các phần tử trong biểu thức như sau:
\[
2(x_1 + x_2) = 2(-4) = -8
\]

Và ta cũng tính phần:
\[
\frac{3}{x_2} + \frac{3}{x_1} = 3 \left( \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1} \right)
\]

Vì \( x_1 x_2 = -7 \), ta có:
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-4}{-7} = \frac{4}{7}
\]

Nên:
\[
\frac{3}{x_2} + \frac{3}{x_1} = 3 \cdot \frac{4}{7} = \frac{12}{7}
\]

Bây giờ, chúng ta cộng tất cả lại:
\[
E = -8 + \frac{12}{7} + 5
\]

Chuyển \( 5 \) thành một phân số với mẫu là \( 7 \) để cộng dễ dàng:
\[
5 = \frac{35}{7}
\]

Kết hợp tất cả các phân số:
\[
E = -8 + \frac{12}{7} + \frac{35}{7}
\]

Chuyển đổi \( -8 \) thành phân số:
\[
-8 = \frac{-56}{7}
\]

Bây giờ cộng các phân số:
\[
E = \frac{-56}{7} + \frac{12}{7} + \frac{35}{7} = \frac{-56 + 12 + 35}{7} = \frac{-56 + 47}{7} = \frac{-9}{7}
\]

Do đó, giá trị của biểu thức \( E \) là:
\[
E = -1
\]

Để tính giá trị biểu thức E=2x1+3x2+2x2+3x1+5𝐸=2𝑥1+3𝑥2+2𝑥2+3𝑥1+5 với x1𝑥1 và x2𝑥2 là hai nghiệm của phương trình x2+4x−7=0𝑥2+4𝑥−7=0, ta không cần phải giải phương trình mà chỉ cần sử dụng định lý Viète và các tính chất của nghiệm.

Theo định lý Viète, với phương trình bậc hai x2+4x−7=0𝑥2+4𝑥−7=0, ta có:
x1+x2=−b/a=−4𝑥1+𝑥2=−𝑏/𝑎=−4
x1x2=c/a=−7𝑥1𝑥2=𝑐/𝑎=−7

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức E𝐸.

E=2x1+3x2+2x2+3x1+5𝐸=2𝑥1+3𝑥2+2𝑥2+3𝑥1+5

Ta có thể nhóm các hạng tử có liên quan lại với nhau:
E=2x1+2x2+3x2+3x1+5𝐸=2𝑥1+2𝑥2+3𝑥2+3𝑥1+5

Dùng các giá trị từ định lý Viète:
x1+x2=−4𝑥1+𝑥2=−4
x1x2=−7𝑥1𝑥2=−7

Do đó, ta tính được các phần tử trong biểu thức như sau:
2(x1+x2)=2(−4)=−82(𝑥1+𝑥2)=2(−4)=−8

Và ta cũng tính phần:
3x2+3x1=3(1x2+1x1)3𝑥2+3𝑥1=3(1𝑥2+1𝑥1)

Vì x1x2=−7𝑥1𝑥2=−7, ta có:
1x1+1x2=x1+x2x1x2=−4−7=471𝑥1+1𝑥2=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=−4−7=47

Nên:
3x2+3x1=3⋅47=1273𝑥2+3𝑥1=3⋅47=127

Bây giờ, chúng ta cộng tất cả lại:
E=−8+127+5𝐸=−8+127+5

Chuyển 55 thành một phân số với mẫu là 77 để cộng dễ dàng:
5=3575=357

Kết hợp tất cả các phân số:
E=−8+127+357𝐸=−8+127+357

Chuyển đổi −8−8 thành phân số:
−8=−567−8=−567

Bây giờ cộng các phân số:
E=−567+127+357=−56+12+357=−56+477=−97𝐸=−567+127+357=−56+12+357=−56+477=−97

Do đó, giá trị của biểu thức E𝐸 là:
E=−1𝐸=−1
...Xem thêm