Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

### Câu a: Rút gọn biểu thức \( M \)

Cho biểu thức \( M \):
\[
M = \left(\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}\right) : \left(\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)
\]

#### Bước 1: Rút gọn tử số
Biểu thức tử số là:
\[
\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}
\]

##### Phần đầu tiên của tử số:
\[
\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - 1}
\]

Phân tích tử số \( x\sqrt{x} - 1 \):
\[
x\sqrt{x} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)
\]

Vì vậy:
\[
\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{x - 1}
\]

Chúng ta cần biểu thức khác nhau để phân tích \( x - 1 \) và \( \sqrt{x} - 1 \):
\[
x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)
\]

Do đó:
\[
\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}
\]

##### Phần thứ hai của tử số:
\[
\frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}
\]

Đặt lại hai phần:
\[
\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(x + \sqrt{x} + 1) - (x - 1)}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x + \sqrt{x} + 1 - x + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]

#### Bước 2: Rút gọn mẫu số
Biểu thức mẫu số là:
\[
\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]

Biểu thức này có thể được viết lại:
\[
\sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}\sqrt{x} + \sqrt{x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x}{\sqrt{x} + 1}
\]

#### Bước 3: Đưa vào biểu thức \( M \):
\[
M = \frac{\frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}}{\frac{x}{\sqrt{x} + 1}} = \frac{2 + \sqrt{x}}{x}
\]

### Câu b:

Để tìm giá trị của \( M \) khi \( x = 4 + 2\sqrt{3} \), ta cần tính toán chi tiết hơn. Ta đã rút gọn được biểu thức \( M \) như sau:
\[
M = \frac{2 + \sqrt{x}}{x}
\]

### Bước 1: Tính \(\sqrt{x}\)

Để tính \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\), ta có thể đặt \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

Ta cần tìm \( a \) và \( b \) sao cho:
\[
(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 4 + 2\sqrt{3}
\]

So sánh các phần tử không chứa căn và chứa căn, ta có:
\[
a + b = 4 \quad \text{và} \quad 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{3}
\]

Suy ra:
\[
\sqrt{ab} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad ab = 3
\]

Giải hệ phương trình \( a + b = 4 \) và \( ab = 3 \), ta có:
\[
t^2 - 4t + 3 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này, ta có:
\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
\]

Vậy, ta có hai nghiệm:
\[
t = 3 \quad \text{và} \quad t = 1
\]

Do đó:
\[
a = 3 \quad \text{và} \quad b = 1 \quad \text{hoặc} \quad a = 1 \quad \text{và} \quad b = 3
\]

Vậy:
\[
\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1 \quad \text{hoặc} \quad \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3}
\]

### Bước 2: Tính giá trị của \( M \)

Giả sử \(\sqrt{x} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1\), ta có:
\[
M = \frac{2 + \sqrt{\sqrt{3} + 1}}{4 + 2\sqrt{3}}
\]

Vì \( \sqrt{x} = \sqrt{3} + 1 \), nên \( \sqrt{x} + 2 = 2 + \sqrt{3} + 1 \):
\[
M = \frac{2 + \sqrt{3} + 1}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}}
\]

Chia cả tử và mẫu cho \( 2 \):
\[
M = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}}{2 + \sqrt{3}}
\]

Nhân cả tử và mẫu với \(2 - \sqrt{3}\) để loại bỏ căn thức ở mẫu:
\[
M = \frac{\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right) \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}
\]

Mẫu số:
\[
(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1
\]

Tử số:
\[
\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right) \cdot (2 - \sqrt{3}) = \frac{(3 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{2} = \frac{6 - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}
\]

Vậy:
\[
M = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}
\]

Từ đó:
\[
M = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}
\]

Như vậy, giá trị của \( M \) khi \( x = 4 + 2\sqrt{3} \) là:
\[
M = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}
\]

...Xem thêm

Answer 2