### Câu a

Để xác định giá trị \(a\) sao cho parabol \( (P): y = (2a + 1)x^2 \) đi qua điểm \( M(2, 1) \), ta thay tọa độ của điểm \( M \) vào phương trình của parabol.

Thay \( x = 2 \) và \( y = 1 \) vào phương trình:
\[ 1 = (2a + 1)(2^2) \]
\[ 1 = (2a + 1) \cdot 4 \]
\[ 1 = 4(2a + 1) \]
\[ 1 = 8a + 4 \]
\[ 8a + 4 = 1 \]
\[ 8a = 1 - 4 \]
\[ 8a = -3 \]
\[ a = -\frac{3}{8} \]

Vậy giá trị của \(a\) là \( a = -\frac{3}{8} \).

### Câu b

Cho parabol \( (C): y = x^2 \) và đường thẳng \( \Delta: y = 2mx - 4m + 5 \), với \( m \) là tham số. Ta cần tìm giá trị của \( m \) để \( \Delta \) cắt \( (C) \) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là:
\[ x^2 = 2mx - 4m + 5 \]
\[ x^2 - 2mx + (4m - 5) = 0 \]

Để phương trình bậc hai này có hai nghiệm phân biệt, ta cần có:
\[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \]
Với \( a = 1 \), \( b = -2m \), \( c = 4m - 5 \):
\[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m - 5) \]
\[ \Delta = 4m^2 - 16m + 20 \]
\[ \Delta = 4m^2 - 16m + 20 \]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:
\[ 4m^2 - 16m + 20 > 0 \]

Giải bất phương trình này:
\[ m^2 - 4m + 5 > 0 \]

Để phương trình \( m^2 - 4m + 5 \) có hai nghiệm phân biệt, ta xét:
\[ \Delta' = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 \]
\[ \Delta' = 16 - 20 \]
\[ \Delta' = -4 \]

Vì \(\Delta'\) âm, nên \( m^2 - 4m + 5 > 0 \) luôn đúng với mọi \( m \). Điều này cho thấy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Tuy nhiên, để các nghiệm này có hoành độ dương, chúng ta cần xét thêm điều kiện:
Nghiệm của phương trình:
\[ x^2 - 2mx + (4m - 5) = 0 \]
là:
\[ x_{1,2} = \frac{2m \pm \sqrt{4m^2 - 16m + 20}}{2} \]
\[ x_{1,2} = m \pm \sqrt{m^2 - 4m + 5} \]

Ta cần:
\[ m - \sqrt{m^2 - 4m + 5} > 0 \]

Xét:
\[ m > \sqrt{m^2 - 4m + 5} \]

Bình phương cả hai vế:
\[ m^2 > m^2 - 4m + 5 \]
\[ 0 > -4m + 5 \]
\[ 4m > 5 \]
\[ m > \frac{5}{4} \]

Vậy giá trị của \( m \) để đường thẳng \( \Delta \) cắt parabol \( (C) \) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương là \( m > \frac{5}{4} \).

a) Xác định a để Parabol (P) đi qua điểm M(2;1):

Để (P): y = (2a + 1)x² đi qua M(2; 1), ta thay x = 2, y = 1 vào phương trình (P):

1 = (2a + 1) * 2²
<=> 1 = (2a + 1) * 4
<=> 1 = 8a + 4
<=> 8a = -3
<=> a = -3/8

Vậy, a = -3/8 thì Parabol (P) đi qua điểm M(2; 1).

b) Tìm m để đường thẳng (Δ) cắt Parabol (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (Δ):
x² = 2mx - 4m + 5
<=> x² - 2mx + 4m - 5 = 0 (*)

Để (Δ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương, phương trình (*) phải thỏa mãn 3 điều kiện:

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: Δ' > 0Δ' = (-m)² - (4m - 5) = m² - 4m + 5 = (m - 2)² + 1 > 0 (luôn đúng với mọi m)
Tổng hai nghiệm dương: x₁ + x₂ > 0Theo định lý Vi-ét: x₁ + x₂ = 2m > 0 <=> m > 0
Tích hai nghiệm dương: x₁.x₂ > 0Theo định lý Vi-ét: x₁.x₂ = 4m - 5 > 0 <=> m > 5/4

Kết hợp cả 3 điều kiện, ta có m > 5/4 thì đường thẳng (Δ) cắt Parabol (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.