Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một biểu thức, bạn cần áp dụng các phương pháp toán học phù hợp với loại biểu thức mà bạn đang làm việc. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:

### 1. Sử dụng Đạo hàm

Phương pháp này thường được áp dụng cho các biểu thức có biến liên tục.

#### Các bước:

1. **Tìm đạo hàm của biểu thức:** Giả sử bạn có biểu thức \( f(x) \). Tính đạo hàm \( f'(x) \).

2. **Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0:** Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các giá trị \( x \) (các điểm tới hạn).

3. **Xét đạo hàm bậc hai:** Tính đạo hàm bậc hai \( f''(x) \) để xác định tính chất của các điểm tới hạn:

- Nếu \( f''(x) > 0 \) tại \( x \), thì \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x \).

- Nếu \( f''(x) < 0 \) tại \( x \), thì \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x \).

4. **Kiểm tra các giá trị tại biên (nếu có):** Nếu miền giá trị của \( x \) bị giới hạn, hãy kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên.

#### Ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \).

1. Tìm đạo hàm: \( f'(x) = 2x + 2 \).

2. Giải phương trình: \( 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1 \).

3. Tính đạo hàm bậc hai: \( f''(x) = 2 \) (luôn dương, hàm số luôn lồi).

4. Kết luận: \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = -1 \). Giá trị nhỏ nhất là \( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0 \).

...Xem thêm

Answer 2

Để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một biểu thức, bạn cần áp dụng các phương pháp toán học phù hợp với loại biểu thức mà bạn đang làm việc. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:

### 1. Sử dụng Đạo hàm

Phương pháp này thường được áp dụng cho các biểu thức có biến liên tục.

#### Các bước:

1. **Tìm đạo hàm của biểu thức:** Giả sử bạn có biểu thức \( f(x) \). Tính đạo hàm \( f'(x) \).

2. **Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0:** Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các giá trị \( x \) (các điểm tới hạn).

3. **Xét đạo hàm bậc hai:** Tính đạo hàm bậc hai \( f''(x) \) để xác định tính chất của các điểm tới hạn:

- Nếu \( f''(x) > 0 \) tại \( x \), thì \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x \).

- Nếu \( f''(x) < 0 \) tại \( x \), thì \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x \).

4. **Kiểm tra các giá trị tại biên (nếu có):** Nếu miền giá trị của \( x \) bị giới hạn, hãy kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên.

#### Ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \).

1. Tìm đạo hàm: \( f'(x) = 2x + 2 \).

2. Giải phương trình: \( 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1 \).

3. Tính đạo hàm bậc hai: \( f''(x) = 2 \) (luôn dương, hàm số luôn lồi).

4. Kết luận: \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = -1 \). Giá trị nhỏ nhất là \( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0 \).

Answer 3

1. Sử dụng đạo hàm
Phương pháp này thường được áp dụng cho các hàm số liên tục và khả vi trên khoảng hoặc đoạn. Các bước thực hiện như sau:

Tìm đạo hàm của hàm số cần tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các điểm biên (nếu có).
So sánh các giá trị vừa tìm được để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Ví dụ:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥+1f(x)=x3−3x+1 trên đoạn [−2,2][−2,2].

Tính đạo hàm: 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3f′(x)=3x2−3
Giải phương trình 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0: 3𝑥2−3=03x2−3=0 𝑥2=1x2=1 𝑥=±1x=±1
Tính giá trị của hàm số tại các điểm 𝑥=−2,−1,1,2x=−2,−1,1,2: 𝑓(−2)=(−2)3−3(−2)+1=−8+6+1=−1f(−2)=(−2)3−3(−2)+1=−8+6+1=−1 𝑓(−1)=(−1)3−3(−1)+1=−1+3+1=3f(−1)=(−1)3−3(−1)+1=−1+3+1=3 𝑓(1)=13−3(1)+1=1−3+1=−1f(1)=13−3(1)+1=1−3+1=−1 𝑓(2)=23−3(2)+1=8−6+1=3f(2)=23−3(2)+1=8−6+1=3
So sánh các giá trị:
Giá trị nhỏ nhất là −1−1 tại 𝑥=−2x=−2 và 𝑥=1x=1.
Giá trị lớn nhất là 33 tại 𝑥=−1x=−1 và 𝑥=2x=2.
2. Sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp này thường được áp dụng cho các biểu thức dạng đại số, đặc biệt là khi có điều kiện ràng buộc. Một số bất đẳng thức thường dùng bao gồm:

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng – trung bình nhân)
Bất đẳng thức Hölder
Ví dụ:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑃=𝑥𝑦P=xy với 𝑥,𝑦>0x,y>0 và 𝑥+𝑦=10x+y=10.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 𝑥+𝑦2≥𝑥𝑦2x+y≥xy 102≥𝑥𝑦210≥xy 5≥𝑥𝑦5≥xy 25≥𝑥𝑦25≥xy

Do đó, giá trị lớn nhất của 𝑃P là 2525 khi 𝑥=𝑦=5x=y=5.

3. Sử dụng phương pháp đánh giá trực tiếp
Phương pháp này thường được áp dụng cho các bài toán với biểu thức và điều kiện đơn giản.

Ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑃=𝑥2+𝑦2P=x2+y2 với điều kiện 𝑥+𝑦=2x+y=2.

Sử dụng 𝑦=2−𝑥y=2−x, ta có: 𝑃=𝑥2+(2−𝑥)2=𝑥2+4−4𝑥+𝑥2=2𝑥2−4𝑥+4P=x2+(2−x)2=x2+4−4x+x2=2x2−4x+4

Đây là một hàm bậc hai theo 𝑥x có dạng 𝑃=2(𝑥−1)2+2P=2(x−1)2+2. Hàm này đạt giá trị nhỏ nhất khi 𝑥=1x=1: 𝑃min⁡=2(1−1)2+2=2Pmin=2(1−1)2+2=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝑃P là 22.

...Xem thêm

Answer 4

1. Sử dụng đạo hàm
Phương pháp này thường được áp dụng cho các hàm số liên tục và khả vi trên khoảng hoặc đoạn. Các bước thực hiện như sau:

Tìm đạo hàm của hàm số cần tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các điểm biên (nếu có).
So sánh các giá trị vừa tìm được để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Ví dụ:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥+1f(x)=x3−3x+1 trên đoạn [−2,2][−2,2].

Tính đạo hàm: 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3f′(x)=3x2−3
Giải phương trình 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0: 3𝑥2−3=03x2−3=0 𝑥2=1x2=1 𝑥=±1x=±1
Tính giá trị của hàm số tại các điểm 𝑥=−2,−1,1,2x=−2,−1,1,2: 𝑓(−2)=(−2)3−3(−2)+1=−8+6+1=−1f(−2)=(−2)3−3(−2)+1=−8+6+1=−1 𝑓(−1)=(−1)3−3(−1)+1=−1+3+1=3f(−1)=(−1)3−3(−1)+1=−1+3+1=3 𝑓(1)=13−3(1)+1=1−3+1=−1f(1)=13−3(1)+1=1−3+1=−1 𝑓(2)=23−3(2)+1=8−6+1=3f(2)=23−3(2)+1=8−6+1=3
So sánh các giá trị:
Giá trị nhỏ nhất là −1−1 tại 𝑥=−2x=−2 và 𝑥=1x=1.
Giá trị lớn nhất là 33 tại 𝑥=−1x=−1 và 𝑥=2x=2.
2. Sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp này thường được áp dụng cho các biểu thức dạng đại số, đặc biệt là khi có điều kiện ràng buộc. Một số bất đẳng thức thường dùng bao gồm:

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng – trung bình nhân)
Bất đẳng thức Hölder
Ví dụ:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑃=𝑥𝑦P=xy với 𝑥,𝑦>0x,y>0 và 𝑥+𝑦=10x+y=10.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 𝑥+𝑦2≥𝑥𝑦2x+y≥xy 102≥𝑥𝑦210≥xy 5≥𝑥𝑦5≥xy 25≥𝑥𝑦25≥xy

Do đó, giá trị lớn nhất của 𝑃P là 2525 khi 𝑥=𝑦=5x=y=5.

3. Sử dụng phương pháp đánh giá trực tiếp
Phương pháp này thường được áp dụng cho các bài toán với biểu thức và điều kiện đơn giản.

Ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑃=𝑥2+𝑦2P=x2+y2 với điều kiện 𝑥+𝑦=2x+y=2.

Sử dụng 𝑦=2−𝑥y=2−x, ta có: 𝑃=𝑥2+(2−𝑥)2=𝑥2+4−4𝑥+𝑥2=2𝑥2−4𝑥+4P=x2+(2−x)2=x2+4−4x+x2=2x2−4x+4

Đây là một hàm bậc hai theo 𝑥x có dạng 𝑃=2(𝑥−1)2+2P=2(x−1)2+2. Hàm này đạt giá trị nhỏ nhất khi 𝑥=1x=1: 𝑃min⁡=2(1−1)2+2=2Pmin=2(1−1)2+2=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝑃P là 22.

2 câu trả lời 122

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9