a) Để phương trình x2+3x+m+1=0𝑥2+3𝑥+𝑚+1=0 có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là delta ΔΔ phải lớn hơn 0. Ta có:

=> Δ=b2−4ac=32−4⋅1⋅(m+1)Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=32−4⋅1⋅(𝑚+1)

=> Δ=9−4m−4Δ=9−4𝑚−4

Để Δ>0Δ>0:

=> 9−4m−4>09−4𝑚−4>0

=> 5−4m>05−4𝑚>0

=> m<54𝑚<54

Vậy, m𝑚 cần nhỏ hơn 5454 để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có x1+x2=−ba𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎 và x1⋅x2=ca𝑥1⋅𝑥2=𝑐𝑎. Trong trường hợp này, a=1𝑎=1, b=3𝑏=3, và c=m+1𝑐=𝑚+1. Do đó:

=> x1+x2=−3𝑥1+𝑥2=−3
=> x1⋅x2=m+1𝑥1⋅𝑥2=𝑚+1

Ta có P=(x1−x2)2+7m+5x1x2𝑃=(𝑥1−𝑥2)2+7𝑚+5𝑥1𝑥2. Sử dụng công thức (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(𝑥1−𝑥2)2=(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2, ta có:

=> P=(−3)2−4(m+1)+7m+5(m+1)𝑃=(−3)2−4(𝑚+1)+7𝑚+5(𝑚+1)

=> P=9−4m−4+7m+5m+5𝑃=9−4𝑚−4+7𝑚+5𝑚+5

=> P=10+8m𝑃=10+8𝑚

Để tìm giá trị lớn nhất của P𝑃, ta cần xem xét giá trị của m𝑚. Từ phần a), ta biết rằng m<54𝑚<54. Do P𝑃 tăng theo m𝑚, giá trị lớn nhất của $Psẽxảyrakhi𝑠ẽ𝑥ả𝑦𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖mtiệmcận𝑡𝑖ệ𝑚𝑐ậ𝑛frac{5}{4}từbêntrái.Vậy,giátrịlớnnhấtcủa𝑡ừ𝑏ê𝑛𝑡𝑟á𝑖.𝑉ậ𝑦,𝑔𝑖á𝑡𝑟ị𝑙ớ𝑛𝑛ℎấ𝑡𝑐ủ𝑎Plàkhi𝑙à𝑘ℎ𝑖mgầnbằng𝑔ầ𝑛𝑏ằ𝑛𝑔\frac{5}{4}$ nhất có thể.

a) Để phương trình x2+3x+m+1=0𝑥2+3𝑥+𝑚+1=0 có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là delta ΔΔ phải lớn hơn 0. Ta có:

=> Δ=b2−4ac=32−4⋅1⋅(m+1)Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=32−4⋅1⋅(𝑚+1)

=> Δ=9−4m−4Δ=9−4𝑚−4

Để Δ>0Δ>0:

=> 9−4m−4>09−4𝑚−4>0

=> 5−4m>05−4𝑚>0

=> m<54𝑚<54

Vậy, m𝑚 cần nhỏ hơn 5454 để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có x1+x2=−ba𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎 và x1⋅x2=ca𝑥1⋅𝑥2=𝑐𝑎. Trong trường hợp này, a=1𝑎=1, b=3𝑏=3, và c=m+1𝑐=𝑚+1. Do đó:

=> x1+x2=−3𝑥1+𝑥2=−3
=> x1⋅x2=m+1𝑥1⋅𝑥2=𝑚+1

Ta có P=(x1−x2)2+7m+5x1x2𝑃=(𝑥1−𝑥2)2+7𝑚+5𝑥1𝑥2. Sử dụng công thức (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(𝑥1−𝑥2)2=(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2, ta có:

=> P=(−3)2−4(m+1)+7m+5(m+1)𝑃=(−3)2−4(𝑚+1)+7𝑚+5(𝑚+1)

=> P=9−4m−4+7m+5m+5𝑃=9−4𝑚−4+7𝑚+5𝑚+5

=> P=10+8m𝑃=10+8𝑚

Để tìm giá trị lớn nhất của P𝑃, ta cần xem xét giá trị của m𝑚. Từ phần a), ta biết rằng m<54𝑚<54. Do P𝑃 tăng theo m𝑚, giá trị lớn nhất của $Psẽxảyrakhi𝑠ẽ𝑥ả𝑦𝑟𝑎𝑘ℎ𝑖mtiệmcận𝑡𝑖ệ𝑚𝑐ậ𝑛frac{5}{4}từbêntrái.Vậy,giátrịlớnnhấtcủa𝑡ừ𝑏ê𝑛𝑡𝑟á𝑖.𝑉ậ𝑦,𝑔𝑖á𝑡𝑟ị𝑙ớ𝑛𝑛ℎấ𝑡𝑐ủ𝑎Plàkhi𝑙à𝑘ℎ𝑖mgầnbằng𝑔ầ𝑛𝑏ằ𝑛𝑔\frac{5}{4}$ nhất có thể.

a) Để phương trình $x^2 + 3x + m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là delta $\Delta$ phải lớn hơn 0. Ta có:

=> $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 1)$

=> $\Delta = 9 - 4m - 4$

Để $\Delta > 0$:

=> $9 - 4m - 4 > 0$

=> $5 - 4m > 0$

=> $m < \frac{5}{4}$

Vậy, $m$ cần nhỏ hơn $\frac{5}{4}$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ và $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Trong trường hợp này, $a = 1$, $b = 3$, và $c = m + 1$. Do đó:

=> $x_1 + x_2 = -3$
=> $x_1 \cdot x_2 = m + 1$

Ta có $P = (x_1 - x_2)^2 + 7m + 5x_1x_2$. Sử dụng công thức $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$, ta có:

=> $P = (-3)^2 - 4(m + 1) + 7m + 5(m + 1)$

=> $P = 9 - 4m - 4 + 7m + 5m + 5$

=> $P = 10 + 8m$

Để tìm giá trị lớn nhất của $P$, ta cần xem xét giá trị của $m$. Từ phần a), ta biết rằng $m < \frac{5}{4}$. Do $P$ tăng theo $m$, giá trị lớn nhất của $P$ sẽ xảy ra khi $m$ tiệm cận $\frac{5}{4}$ từ bên trái. Vậy, giá trị lớn nhất của $P$ là khi $m$ gần bằng $\frac{5}{4}$ nhất có thể.