Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi \( x = 9 \):

Đưa \( x = 9 \) vào biểu thức A:
\[ A = \frac{9 - 4}{\sqrt{9}} \times \frac{2\sqrt{9} + 3}{9 - 4} \]

\[ A = \frac{5}{3} \times \frac{6 + 3}{5} = \frac{5}{3} \times \frac{9}{5} = 3 \]

Vậy giá trị của biểu thức A khi \( x = 9 \) là 3.

2) Đặt \( P = A \cdot B \), chứng minh \( P = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \):

\[ P = A \cdot B = \left(\frac{x - 4}{\sqrt{x}} \times \frac{2\sqrt{x} + 3}{x - 4}\right) \times \frac{3}{\sqrt{x - 2}} \]

\[ P = \frac{(x - 4)(2\sqrt{x} + 3) \cdot 3}{(x - 4)\sqrt{x}\sqrt{x - 2}} \]

\[ P = \frac{3(2\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x}\sqrt{x - 2}} \]

Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( P = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \):

\[ P = \frac{3(2\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x}\sqrt{x - 2}} = \frac{6\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x}\sqrt{x - 2}} \]

\[ P = \frac{3(2\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x}\sqrt{x - 2}} = \frac{3(2\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x^2 - 2x}} = \frac{3(2\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \]

Vậy, \( P = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \).

3) So sánh \( P \) và \( P^2 \):

\[ P^2 = \left(\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}\right)^2 = \frac{x + 6\sqrt{x} + 9}{x} \]

\( P^2 \) và \( P \) có cùng bậc, ta có thể thấy:

\[ P^2 - P = \frac{x + 6\sqrt{x} + 9}{x} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} = \frac{x + 6\sqrt{x} + 9 - x - 3\sqrt{x}}{x} = \frac{3\sqrt{x} + 9}{x} \]

\( P^2 - P \) không bằng 0, nên không thể kết luận được điều gì về sự quan hệ giữa \( P \) và \( P^2 \).

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\):
Đặt \(x = 9\) vào biểu thức \(A\):
\[A = \frac{9 - 4}{\sqrt{9}} \times \frac{2\sqrt{9} + 3}{9 - 4}\]
\[= \frac{5}{3} \times \frac{6 + 3}{5}\]
\[= \frac{5}{3} \times \frac{9}{5}\]
\[= \frac{15}{3}\]
\[= 5\]

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\) là \(5\).

2) Đặt \(P = A \cdot B\), chứng minh \(P = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}\):
Đầu tiên, tính giá trị của \(B\) khi \(x = 9\):
\[B = \frac{3}{\sqrt{9 - 2}} = \frac{3}{\sqrt{7}}\]

Đặt \(P = A \cdot B\):
\[P = A \cdot B = \left(\frac{x - 4}{\sqrt{x}} \times \frac{2\sqrt{x} + 3}{x - 4}\right) \times \left(\frac{3}{\sqrt{x - 2}}\right)\]
\[= \frac{(x - 4)(2\sqrt{x} + 3) \cdot 3}{\sqrt{x}(x - 4) \cdot \sqrt{x - 2}}\]

Chúng ta thấy rằng \((x - 4)\) trong tử số và mẫu số sẽ bị rút gọn, và \(\sqrt{x}\) cũng sẽ bị rút gọn, ta có:
\[P = \frac{3(2\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x - 2}}\]

Rút gọn thêm:
\[P = \frac{6\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x - 2}}\]
\[P = \frac{3(2\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x - 2}}\]
\[P = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x - 2}}\]

Vậy ta đã chứng minh được \(P = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x - 2}}\).

3) So sánh \(P\) và \(P^2\):
\[P^2 = \left(\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x - 2}}\right)^2\]
\[P^2 = \frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{(\sqrt{x - 2})^2}\]
\[P^2 = \frac{x + 6\sqrt{x} + 9}{x - 2}\]

Ta thấy không thể so sánh trực tiếp giữa \(P\) và \(P^2\) vì chúng có dạng khác nhau.