Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( K = \frac{9x^2 - 12x + 4}{x^2 - 2x + 2} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm phần tử lớn nhất của tử số \( 9x^2 - 12x + 4 \).
2. Tìm phần tử nhỏ nhất của mẫu số \( x^2 - 2x + 2 \).
3. Tìm giá trị của \( x \) tương ứng với điểm mà \( x^2 - 2x + 2 = 0 \). Đây là điểm mà mẫu số bằng không, và ở đây chúng ta phải loại bỏ để tránh việc chia cho 0.
4. Kiểm tra giá trị lớn nhất của \( K \) khi \( x \) không nằm trong vùng bị loại bỏ.

Bây giờ, hãy thực hiện các bước này:

1. Tìm phần tử lớn nhất của tử số: Để tìm cực trị của hàm số \( 9x^2 - 12x + 4 \), ta sẽ tính đạo hàm bậc nhất và đặt nó bằng 0:

\[
\frac{d}{dx} (9x^2 - 12x + 4) = 0
\]

Tính đạo hàm:

\[
18x - 12 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}
\]

2. Tìm phần tử nhỏ nhất của mẫu số: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( x^2 - 2x + 2 \). Vì \( x^2 - 2x + 2 \) là một hàm số bậc hai với hệ số dương ở phía trước của \( x^2 \), nên giá trị nhỏ nhất sẽ là giá trị của đỉnh của đồ thị, tức là:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1
\]

3. Tìm giá trị của \( x \) tương ứng với điểm mà \( x^2 - 2x + 2 = 0 \):

\[
x^2 - 2x + 2 = 0
\]

Đây là một hàm số bậc hai và không có giá trị thực nào làm cho hàm số này bằng 0. Vì vậy, không có giá trị \( x \) nào bị loại bỏ.

4. Kiểm tra giá trị lớn nhất của \( K \) khi \( x \) không nằm trong vùng bị loại bỏ. Để làm điều này, ta sẽ so sánh giá trị của \( K \) tại các điểm mà ta đã tìm được:

- \( K(2/3) = \frac{9(2/3)^2 - 12(2/3) + 4}{(2/3)^2 - 2(2/3) + 2} \approx 5.444 \)
- \( K(1) = \frac{9(1)^2 - 12(1) + 4}{(1)^2 - 2(1) + 2} = 1 \)

Do đó, giá trị lớn nhất của \( K \) là \( K(2/3) \approx 5.444 \).

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K=9x2−12x+4x2−2x+2𝐾=9𝑥2−12𝑥+4𝑥2−2𝑥+2, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm phần tử lớn nhất của tử số 9x2−12x+49𝑥2−12𝑥+4.
2. Tìm phần tử nhỏ nhất của mẫu số x2−2x+2𝑥2−2𝑥+2.
3. Tìm giá trị của x𝑥 tương ứng với điểm mà x2−2x+2=0𝑥2−2𝑥+2=0. Đây là điểm mà mẫu số bằng không, và ở đây chúng ta phải loại bỏ để tránh việc chia cho 0.
4. Kiểm tra giá trị lớn nhất của K𝐾 khi x𝑥 không nằm trong vùng bị loại bỏ.

Bây giờ, hãy thực hiện các bước này:

1. Tìm phần tử lớn nhất của tử số: Để tìm cực trị của hàm số 9x2−12x+49𝑥2−12𝑥+4, ta sẽ tính đạo hàm bậc nhất và đặt nó bằng 0:

ddx(9x2−12x+4)=0𝑑𝑑𝑥(9𝑥2−12𝑥+4)=0

Tính đạo hàm:

18x−12=0⇒x=2318𝑥−12=0⇒𝑥=23

2. Tìm phần tử nhỏ nhất của mẫu số: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số x2−2x+2𝑥2−2𝑥+2. Vì x2−2x+2𝑥2−2𝑥+2 là một hàm số bậc hai với hệ số dương ở phía trước của x2𝑥2, nên giá trị nhỏ nhất sẽ là giá trị của đỉnh của đồ thị, tức là:

x=−b2a=−−22=1𝑥=−𝑏2𝑎=−−22=1

3. Tìm giá trị của x𝑥 tương ứng với điểm mà x2−2x+2=0𝑥2−2𝑥+2=0:

x2−2x+2=0𝑥2−2𝑥+2=0

Đây là một hàm số bậc hai và không có giá trị thực nào làm cho hàm số này bằng 0. Vì vậy, không có giá trị x𝑥 nào bị loại bỏ.

4. Kiểm tra giá trị lớn nhất của K𝐾 khi x𝑥 không nằm trong vùng bị loại bỏ. Để làm điều này, ta sẽ so sánh giá trị của K𝐾 tại các điểm mà ta đã tìm được:

- K(2/3)=9(2/3)2−12(2/3)+4(2/3)2−2(2/3)+2≈5.444𝐾(2/3)=9(2/3)2−12(2/3)+4(2/3)2−2(2/3)+2≈5.444
- K(1)=9(1)2−12(1)+4(1)2−2(1)+2=1𝐾(1)=9(1)2−12(1)+4(1)2−2(1)+2=1

Do đó, giá trị lớn nhất của K𝐾 là K(2/3)≈5.444𝐾(2/3)≈5.444.