a) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 6 \\
3x - y = 4
\end{cases}
\]

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp loại bỏ một biến hoặc sử dụng phương pháp đại số.

Phương pháp loại bỏ một biến:
Ta nhân đại số hóa cả hai phương trình để loại bỏ biến \(y\):
\[
\begin{cases}
(x + 2y) \times 3 = 6 \times 3 \\
(3x - y) \times 2 = 4 \times 2
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
3x + 6y = 18 \\
6x - 2y = 8
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại ta có:
\[9x = 26 \Leftrightarrow x = \frac{26}{9}\]

Thay \(x = \frac{26}{9}\) vào phương trình thứ nhất ta tính được \(y\):
\[x + 2y = 6 \Leftrightarrow \frac{26}{9} + 2y = 6 \Leftrightarrow 2y = 6 - \frac{26}{9} = \frac{38}{9} \Leftrightarrow y = \frac{38}{18} = \frac{19}{9}\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = \frac{26}{9}\) và \(y = \frac{19}{9}\).

b) Giải phương trình \(x^2 - 3x - 10 = 0\):
Đây là một phương trình bậc hai, có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\). Ta có \(a = 1\), \(b = -3\), và \(c = -10\).
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Thay các giá trị vào ta được:
\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-10)}}{2 \times 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2}\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3 \pm 7}{2}\):
\[x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5\]
\[x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2\]

c) Cho phương trình \(x^2 + (m+1)x + m = 0\) (1), \(m\) là tham số.
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm.
2. Tìm \(m\) để 2 nghiệm \(x_1, x_2\) của phương trình thỏa mãn biểu thức: \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1x_2} = -2\).

1. Để chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm, ta sử dụng định lí về nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\).

Áp dụng vào phương trình (1), ta có:
\[\Delta = (m + 1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1\]

Vì \(\Delta = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2 \geq 0\) với mọi \(m\), nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm.

2. Từ phần 1, ta biết phương trình (1) luôn có hai nghiệm, ký hiệu là \(x_1\) và \(x_2\

a) Giải hệ phương trình:
{x+2y=63x−y=4{𝑥+2𝑦=63𝑥−𝑦=4

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp loại bỏ một biến hoặc sử dụng phương pháp đại số.

Phương pháp loại bỏ một biến:
Ta nhân đại số hóa cả hai phương trình để loại bỏ biến y𝑦:
{(x+2y)×3=6×3(3x−y)×2=4×2⇔{3x+6y=186x−2y=8{(𝑥+2𝑦)×3=6×3(3𝑥−𝑦)×2=4×2⇔{3𝑥+6𝑦=186𝑥−2𝑦=8

Cộng hai phương trình lại ta có:
9x=26⇔x=2699𝑥=26⇔𝑥=269

Thay x=269𝑥=269 vào phương trình thứ nhất ta tính được y𝑦:
x+2y=6⇔269+2y=6⇔2y=6−269=389⇔y=3818=199𝑥+2𝑦=6⇔269+2𝑦=6⇔2𝑦=6−269=389⇔𝑦=3818=199

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x=269𝑥=269 và y=199𝑦=199.

b) Giải phương trình x2−3x−10=0𝑥2−3𝑥−10=0:
Đây là một phương trình bậc hai, có dạng ax2+bx+c=0𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0. Ta có a=1𝑎=1, b=−3𝑏=−3, và c=−10𝑐=−10.
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
x=−b±√b2−4ac2a𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

Thay các giá trị vào ta được:
x=−(−3)±√(−3)2−4×1×(−10)2×1=3±√9+402=3±√492𝑥=−(−3)±(−3)2−4×1×(−10)2×1=3±9+402=3±492

Vậy nghiệm của phương trình là x=3±72𝑥=3±72:
x1=3+72=5𝑥1=3+72=5
x2=3−72=−2𝑥2=3−72=−2

c) Cho phương trình x2+(m+1)x+m=0𝑥2+(𝑚+1)𝑥+𝑚=0 (1), m𝑚 là tham số.
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm.
2. Tìm m𝑚 để 2 nghiệm x1,x2𝑥1,𝑥2 của phương trình thỏa mãn biểu thức: 1x1+1x2+1x1x2=−21𝑥1+1𝑥2+1𝑥1𝑥2=−2.

1. Để chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm, ta sử dụng định lí về nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai ax2+bx+c=0𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 có nghiệm khi và chỉ khi Δ=b2−4ac≥0Δ=𝑏2−4𝑎𝑐≥0.

Áp dụng vào phương trình (1), ta có:
Δ=(m+1)2−4m=m2+2m+1−4m=m2−2m+1Δ=(𝑚+1)2−4𝑚=𝑚2+2𝑚+1−4𝑚=𝑚2−2𝑚+1

Vì Δ=m2−2m+1=(m−1)2≥0Δ=𝑚2−2𝑚+1=(𝑚−1)2≥0 với mọi m𝑚, nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm.

2. Từ phần 1, ta biết phương trình (1) luôn có hai nghiệm, ký hiệu là x1𝑥1 và \(x_2\