Để phương trình \(x^2 - 2(m+3)x +m^2 + 6m + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x^1\) và \(x^2\) sao cho \(-1 < x^1 < x^2 < 5\), ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Xác định các điều kiện cho \(x^1\) và \(x^2\) để chúng nằm trong khoảng \((-1, 5)\).
3. Tìm giá trị của \(m\) thoả mãn các điều kiện trên.

Bây giờ, hãy đi từng bước:

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\Delta > 0\), trong đó \(\Delta\) là hằng số delta của phương trình bậc hai, được tính bằng \(b^2 - 4ac\) trong phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).

2. Điều kiện cho \(x^1\) và \(x^2\) là \(-1 < x^1 < x^2 < 5\).

3. Xác định \(m\) thoả mãn các điều kiện trên.

Bây giờ, chúng ta tính \(\Delta\) của phương trình:

\[
\Delta = (-2(m + 3))^2 - 4(m^2 + 6m + 5)
\]
\[
= 4(m^2 + 6m + 9) - 4(m^2 + 6m + 5)
\]
\[
= 4m^2 + 24m + 36 - 4m^2 - 24m - 20
\]
\[
= 16
\]

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tiếp theo, để \(x^1\) nằm trong khoảng \((-1, 5)\), ta cần tìm điều kiện cho \(m\):

\[
x^1 = \frac{{2(m + 3) - \sqrt{\Delta}}}{{2}} = m + 3 - 2
\]
\[
= m + 1
\]

Điều kiện là \(-1 < m + 1 < 5\), tức là \(-2 < m < 4\).

Tương tự, để \(x^2\) nằm trong khoảng \((-1, 5)\), ta có điều kiện:

\[
x^2 = \frac{{2(m + 3) + \sqrt{\Delta}}}{{2}} = m + 3 + 2
\]
\[
= m + 5
\]

Điều kiện là \(-1 < m + 5 < 5\), tức là \(-6 < m < 0\).

Do đó, \(m\) cần thỏa mãn điều kiện \(-2 < m < 0\), vì nó là giao của hai khoảng \((-2, 4)\) và \((-6, 0)\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \), điều kiện cần và đủ là đẳng thức bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) phải có delta (\( \Delta \)) dương.

Trong trường hợp này, phương trình đã cho là \( x^2 - 2(m+3)x + m^2 + 6m + 5 = 0 \), nên ta có:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Thay \( a = 1 \), \( b = -2(m+3) \), và \( c = m^2 + 6m + 5 \) vào công thức:

\[ \Delta = (-2(m+3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 6m + 5) \]

\[ = (4(m^2 + 6m + 9)) - 4(m^2 + 6m + 5) \]

\[ = 4m^2 + 24m + 36 - 4m^2 - 24m - 20 \]

\[ = 16 \]

Vậy, ta cần \( \Delta > 0 \), tức là \( 16 > 0 \).

Điều kiện \( -1 < x_1 < x_2 < 5 \) có nghĩa là nghiệm \( x_1 \) phải nhỏ hơn -1 và nghiệm \( x_2 \) phải lớn hơn 5.

Ta cần xác định giá trị của \( m \) thỏa mãn cả hai điều kiện này.

Điều kiện đầu tiên là \( \Delta > 0 \), đã được xác định là \( 16 > 0 \), điều này luôn đúng với mọi giá trị của \( m \), vì \( \Delta \) không phụ thuộc vào \( m \).

Điều kiện thứ hai yêu cầu rằng cả hai nghiệm phải nằm ngoài khoảng từ -1 đến 5. Để tìm ra giá trị của \( m \) để đảm bảo điều kiện này, ta cần xem xét nghiệm của phương trình \( x^2 - 2(m+3)x + m^2 + 6m + 5 \) trong khoảng từ -1 đến 5.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong khoảng từ -1 đến 5, \( x_1 \) phải nhỏ hơn -1 và \( x_2 \) phải lớn hơn 5.

Điều này tương đương với việc kiểm tra các điểm kết hợp của \( x_1 \) và \( x_2 \) trong khoảng từ -1 đến 5. Ta cần xác định giá trị của \( m \) sao cho nghiệm của phương trình nằm ngoài khoảng từ -1 đến 5.

Để thuận tiện, có thể sử dụng đồ thị hàm số để xác định khoảng nghiệm của \( m \).