Tiếp tục từ công thức đã tính được:

\[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} \]

Thay \(a\), \(b\), và \(c\) vào công thức:

\[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{(-2)^2}{(\sqrt{3} + 1)^2} - \frac{2(-\sqrt{3})}{\sqrt{3} + 1} \]

\[ = \frac{4}{(\sqrt{3} + 1)^2} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \]

Giảm mẫu số cho dễ tính toán:

\[ = \frac{4}{3 + 2\sqrt{3} + 1} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \]

\[ = \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \]

\[ = \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \]

\[ = \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} \]

\[ = \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2} \]

\[ = \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + 2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) \]

\[ = \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + 2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) \times \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} \]

\[ = \frac{4(4 + 2\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3})}{(4 + 2\sqrt{3})} \]

\[ = \frac{16 + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 12}{4 + 2\sqrt{3}} \]

\[ = \frac{28 + 16\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}} \]

Để làm cho biểu thức này dễ nhìn hơn, chúng ta có thể nhân cả tử và mẫu với \(4 - 2\sqrt{3}\) (hermite) để loại bỏ căn bậc hai ở mẫu:

\[ = \frac{(28 + 16\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})}{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} \]

\[ = \frac{(28 \times 4) + (28 \times -2\sqrt{3}) + (16\sqrt{3} \times 4) + (16\sqrt{3} \times -2\sqrt{3})}{(4)^2 - (2\sqrt{3})^2} \]

\[ = \frac{112 - 56\sqrt{3} + 64\sqrt{3} - 96}{16 - 12} \]

\[ = \frac{16 + 8\sqrt{3}}{4} \]

\[ = 4 + 2\sqrt{3} \]

Vậy, tổng các bình phương của hai nghiệm là \(4 + 2\sqrt{3}\).

Để chứng minh rằng phương trình (√3+1)x2−2x−√3=0(3+1)�2−2�−3=0 có hai nghiệm phân biệt, ta có thể sử dụng định lý về delta của phương trình bậc hai: Δ=b2−4acΔ=�2−4��.

Trong phương trình (√3+1)x2−2x−√3=0(3+1)�2−2�−3=0, ta có:
- a=√3+1�=3+1
- b=−2�=−2
- c=−√3�=−3

Tính delta:
Δ=b2−4acΔ=�2−4��
=(−2)2−4(√3+1)(−√3)=(−2)2−4(3+1)(−3)
=4−4(√3+1)(−√3)=4−4(3+1)(−3)
=4−4(√3⋅−√3+1⋅−√3)=4−4(3⋅−3+1⋅−3)
=4−4(−3+(−√3))=4−4(−3+(−3))
=4−4(−3−√3)=4−4(−3−3)
=4−4(−3)−4(−√3)=4−4(−3)−4(−3)
=4+12+4√3=4+12+43
=16+4√3=16+43

Vì Δ=16+4√3>0Δ=16+43>0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Để tính tổng các bình phương của hai nghiệm, ta có thể sử dụng công thức Viète:

Nếu x1�1 và x2�2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0��2+��+�=0, thì:
x1+x2=−ba�1+�2=−��
và
x1⋅x2=ca�1⋅�2=��

Trong trường hợp này, a=√3+1�=3+1, b=−2�=−2, và c=−√3�=−3.

Tổng các bình phương của hai nghiệm là:
x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2�12+�22=(�1+�2)2−2�1�2
=(−ba)2−2⋅ca=(−��)2−2⋅��
=b2a2−2ca