không cần giải chứng tỏ rằng chương trình 3+1x2-2x-3=0 có hai nghiệm phân biệt và tính tổng các bình phương hai nghiệm đó

không cần giải chứng tỏ rằng chương trình 3+1x2-2x-3=0 có hai nghiệm phân biệt v

Yến Châu Hỏi từ APP VIETJACK

· 19:39 07/05/2024

không cần giải chứng tỏ rằng chương trình $(\sqrt{3} + 1) x^{2} - 2 x - \sqrt{3} = 0$ có hai nghiệm phân biệt và tính tổng các bình phương hai nghiệm đó

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

2 câu trả lời 660

Phạm Thị Huyền

1 năm trước

Để chứng minh rằng phương trình $(\sqrt{3} + 1)x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0$ có hai nghiệm phân biệt, ta có thể sử dụng định lý về delta của phương trình bậc hai: $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Trong phương trình $(\sqrt{3} + 1)x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0$ , ta có:
- $a = \sqrt{3} + 1$
- $b = -2$
- $c = -\sqrt{3}$

Tính delta:
$\Delta = b^2 - 4ac$
$= (-2)^2 - 4(\sqrt{3} + 1)(-\sqrt{3})$
$= 4 - 4(\sqrt{3} + 1)(-\sqrt{3})$
$= 4 - 4(\sqrt{3} \cdot -\sqrt{3} + 1 \cdot -\sqrt{3})$
$= 4 - 4(-3 + (-\sqrt{3}))$
$= 4 - 4(-3 - \sqrt{3})$
$= 4 - 4(-3) - 4(-\sqrt{3})$
$= 4 + 12 + 4\sqrt{3}$
$= 16 + 4\sqrt{3}$

Vì $\Delta = 16 + 4\sqrt{3} > 0$ , nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Để tính tổng các bình phương của hai nghiệm, ta có thể sử dụng công thức Viète:

Nếu $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ , thì:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
và
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Trong trường hợp này, $a = \sqrt{3} + 1$ , $b = -2$ , và $c = -\sqrt{3}$ .

Tổng các bình phương của hai nghiệm là:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
$= \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2 \cdot \frac{c}{a}$
$= \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$

Tiếp tục từ công thức đã tính được:

$x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$

Thay $a$ , $b$ , và $c$ vào công thức:

$x_1^2 + x_2^2 = \frac{(-2)^2}{(\sqrt{3} + 1)^2} - \frac{2(-\sqrt{3})}{\sqrt{3} + 1}$

$= \frac{4}{(\sqrt{3} + 1)^2} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

Giảm mẫu số cho dễ tính toán:

$= \frac{4}{3 + 2\sqrt{3} + 1} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

$= \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

$= \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

$= \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$

$= \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2}$

$= \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + 2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$

$= \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} + 2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) \times \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}}$

$= \frac{4(4 + 2\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3})}{(4 + 2\sqrt{3})}$

$= \frac{16 + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 12}{4 + 2\sqrt{3}}$

$= \frac{28 + 16\sqrt{3}}{4 + 2\sqrt{3}}$

Để làm cho biểu thức này dễ nhìn hơn, chúng ta có thể nhân cả tử và mẫu với $4 - 2\sqrt{3}$ (hermite) để loại bỏ căn bậc hai ở mẫu:

$= \frac{(28 + 16\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})}{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})}$

$= \frac{(28 \times 4) + (28 \times -2\sqrt{3}) + (16\sqrt{3} \times 4) + (16\sqrt{3} \times -2\sqrt{3})}{(4)^2 - (2\sqrt{3})^2}$

$= \frac{112 - 56\sqrt{3} + 64\sqrt{3} - 96}{16 - 12}$

$= \frac{16 + 8\sqrt{3}}{4}$

$= 4 + 2\sqrt{3}$

Vậy, tổng các bình phương của hai nghiệm là $4 + 2\sqrt{3}$ .

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Astraea

1 năm trước

Để chứng minh rằng phương trình (√3+1)x2−2x−√3=0(3+1)�2−2�−3=0 có hai nghiệm phân biệt, ta có thể sử dụng định lý về delta của phương trình bậc hai: Δ=b2−4acΔ=�2−4��.

Trong phương trình (√3+1)x2−2x−√3=0(3+1)�2−2�−3=0, ta có:
- a=√3+1�=3+1
- b=−2�=−2
- c=−√3�=−3

Tính delta:
Δ=b2−4acΔ=�2−4��
=(−2)2−4(√3+1)(−√3)=(−2)2−4(3+1)(−3)
=4−4(√3+1)(−√3)=4−4(3+1)(−3)
=4−4(√3⋅−√3+1⋅−√3)=4−4(3⋅−3+1⋅−3)
=4−4(−3+(−√3))=4−4(−3+(−3))
=4−4(−3−√3)=4−4(−3−3)
=4−4(−3)−4(−√3)=4−4(−3)−4(−3)
=4+12+4√3=4+12+43
=16+4√3=16+43

Vì Δ=16+4√3>0Δ=16+43>0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Để tính tổng các bình phương của hai nghiệm, ta có thể sử dụng công thức Viète:

Nếu x1�1 và x2�2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0��2+��+�=0, thì:
x1+x2=−ba�1+�2=−��
và
x1⋅x2=ca�1⋅�2=��

Trong trường hợp này, a=√3+1�=3+1, b=−2�=−2, và c=−√3�=−3.

Tổng các bình phương của hai nghiệm là:
x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2�12+�22=(�1+�2)2−2�1�2
=(−ba)2−2⋅ca=(−��)2−2⋅��
=b2a2−2ca

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo