Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học và tính chất của các hình học trong đó:

1. **Đường tròn và tiếp tuyến:** Khi vẽ một tiếp tuyến từ một điểm bên ngoài đường tròn, đường tiếp tuyến này sẽ tạo ra một góc vuông với bán kính của đường tròn tại điểm tiếp điểm. Điều này có nghĩa là các tiếp tuyến từ điểm K đến đường tròn là cùng vuông góc với các bán kính KA và KB.
2. **Trung điểm và đường thẳng:** Trong một tam giác, đường thẳng nối một điểm bất kỳ đến trung điểm của cạnh đối diện sẽ là đoạn phân giác của cạnh đó.
3. **Tứ giác nội tiếp và tứ giác nội tiếp:** Một tứ giác nội tiếp là một tứ giác có tất cả các đỉnh nằm trên một đường tròn. Trong khi đó, một tứ giác nội tiếp là tứ giác có một đường tròn nội tiếp.

**1.1. Chứng minh 5 điểm K, H, A, B, O cùng thuộc một đường tròn:**

Vì K là điểm nằm bên ngoài đường tròn (O) nhưng KA và KB là hai tiếp tuyến của đường tròn, nên \( \angle KAO \) và \( \angle KBO \) là hai góc nhọn, mỗi góc đều chắn một nửa đường tròn. Từ đó, K, A, O, B là các điểm thuộc cùng một đường tròn.

Vì \(H\) là trung điểm của \(CD\) và \(C\) nằm trên đường tròn (O), nên \(H\) cũng nằm trên đường tròn (O).

Do đó, \(K\), \(H\), \(A\), \(B\), \(O\) cùng thuộc một đường tròn.

**1.2. Chứng minh tứ giác KHOB là tứ giác nội tiếp:**

Vì \(K\), \(H\), \(A\), \(B\), \(O\) cùng thuộc một đường tròn (đã chứng minh ở câu 1.1), nên tứ giác \(KHOB\) là tứ giác nội tiếp.

**1.3. Chứng minh tứ giác AHOB là tứ giác nộp tiếp:**

Vì tứ giác \(AHOB\) có hai góc ở \(A\) và \(B\) đều là góc nội tiếp của đường tròn, nên tứ giác \(AHOB\) là tứ giác nội tiếp.

**1.4. Chứng minh \( \angle AUK = \angle KOB \):**

Vì tứ giác \(KHOB\) là tứ giác nội tiếp (đã chứng minh ở câu 1.2), nên \( \angle AUK = \angle KOB \) vì chúng đều chắn cùng một cung \(AB\) trên đường tròn.

Như vậy, đã chứng minh xong.

...Xem thêm

Answer 2

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học và tính chất của các hình học trong đó:

1. **Đường tròn và tiếp tuyến:** Khi vẽ một tiếp tuyến từ một điểm bên ngoài đường tròn, đường tiếp tuyến này sẽ tạo ra một góc vuông với bán kính của đường tròn tại điểm tiếp điểm. Điều này có nghĩa là các tiếp tuyến từ điểm K đến đường tròn là cùng vuông góc với các bán kính KA và KB.
2. **Trung điểm và đường thẳng:** Trong một tam giác, đường thẳng nối một điểm bất kỳ đến trung điểm của cạnh đối diện sẽ là đoạn phân giác của cạnh đó.
3. **Tứ giác nội tiếp và tứ giác nội tiếp:** Một tứ giác nội tiếp là một tứ giác có tất cả các đỉnh nằm trên một đường tròn. Trong khi đó, một tứ giác nội tiếp là tứ giác có một đường tròn nội tiếp.

**1.1. Chứng minh 5 điểm K, H, A, B, O cùng thuộc một đường tròn:**

Vì K là điểm nằm bên ngoài đường tròn (O) nhưng KA và KB là hai tiếp tuyến của đường tròn, nên \( \angle KAO \) và \( \angle KBO \) là hai góc nhọn, mỗi góc đều chắn một nửa đường tròn. Từ đó, K, A, O, B là các điểm thuộc cùng một đường tròn.

Vì \(H\) là trung điểm của \(CD\) và \(C\) nằm trên đường tròn (O), nên \(H\) cũng nằm trên đường tròn (O).

Do đó, \(K\), \(H\), \(A\), \(B\), \(O\) cùng thuộc một đường tròn.

**1.2. Chứng minh tứ giác KHOB là tứ giác nội tiếp:**

Vì \(K\), \(H\), \(A\), \(B\), \(O\) cùng thuộc một đường tròn (đã chứng minh ở câu 1.1), nên tứ giác \(KHOB\) là tứ giác nội tiếp.

**1.3. Chứng minh tứ giác AHOB là tứ giác nộp tiếp:**

Vì tứ giác \(AHOB\) có hai góc ở \(A\) và \(B\) đều là góc nội tiếp của đường tròn, nên tứ giác \(AHOB\) là tứ giác nội tiếp.

**1.4. Chứng minh \( \angle AUK = \angle KOB \):**

Vì tứ giác \(KHOB\) là tứ giác nội tiếp (đã chứng minh ở câu 1.2), nên \( \angle AUK = \angle KOB \) vì chúng đều chắn cùng một cung \(AB\) trên đường tròn.

Như vậy, đã chứng minh xong.

Answer 3

Để chứng minh rằng 5 điểm K, H, A, B, O cùng thuộc một đường thẳng, ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.

Gọi O là tâm của đường tròn (0; R). Ta có tam giác OAK và OCB đồng dạng với nhau do cùng có 1 góc vuông tại O và góc AOK = góc BOC (do KA và KB là tiếp tuyến nên góc AOK = góc BOC = 90 độ).

Do đó, ta có OA/OB = OK/OC.

Nhưng H là trung điểm của CD nên OC = 2OH.

Vậy, ta có OA/OB = OK/2OH.

Từ đó, ta suy ra O, K, H thẳng hàng.

Vì vậy, 5 điểm K, H, A, B, O cùng thuộc một đường thẳng.

Vì K, 𝐻, 𝐴, 𝐵, 𝑂 cùng thuộc một đường tròn (đã chứng minh ở câu 1.1), nên tứ giác KHOBlà tứ giác nội tiếp.

Vì tứ giác AHOB có hai góc ở A và B đều là góc nội tiếp của đường tròn, nên tứ giác AHOBlà tứ giác nội tiếp.

Vì tứ giác KHOB là tứ giác nội tiếp (đã chứng minh ở câu 1.2), nên ∠AUK=∠KOBvì chúng đều chắn cùng một cung AB𝐴𝐵 trên đường tròn.

2 câu trả lời 213

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9