**Chứng minh:**

**a) Tứ giác OMAK là tứ giác nội tiếp:**

Gọi \( \angle MOA = \alpha \) (với \( \alpha \) tính theo độ).

Vì \( MA \) tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \), nên \( \angle OAM = 90^\circ \) (góc phân giác).

Do đó, tứ giác \( OMAK \) là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tứ giác này có hai góc có tổng bằng \( 180^\circ \).

Ta có:
\[ \angle OMK = \angle OMA + \angle AMK = 90^\circ + \alpha \]
\[ \angle OAK = \angle OMA = 90^\circ \]
\[ \angle OMK + \angle OAK = 90^\circ + \alpha + 90^\circ = 180^\circ \]

Vậy, tứ giác \( OMAK \) là tứ giác nội tiếp.

**b) Chứng minh \( MA^2 = MB \cdot MC \) và tam giác \( ABK \) vuông tại \( A \):**

Từ tứ giác \( OMAK \) là tứ giác nội tiếp, ta có:
\[ \angle OMK = \angle OAK = 90^\circ \]

Vậy, \( OK \) là đường đường trung của tam giác vuông \( OMB \), do đó, ta có \( OK \perp MB \).

Từ đây, suy ra \( \triangle OKB \) vuông tại \( B \).

Vì \( K \) là trung điểm của \( MB \), nên \( MK = KB \).

Theo định lí tiếp tuyến và phân giác, ta có:
\[ MA^2 = MK \cdot MB = KB \cdot MB = MB \cdot MC \]

Vậy, ta đã chứng minh được \( MA^2 = MB \cdot MC \) và tam giác \( ABK \) vuông tại \( A \).

a) Để chứng minh tứ giác OMAK là tứ giác nội tiếp, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp:

Gọi \( \angle BOC = \alpha \) (với \( \alpha \) là góc nội tiếp ứng với cung \( BC \)), và \( \angle OAB = \beta \) (với \( \beta \) là góc nội tiếp ứng với cung \( AC \)).

Khi đó, do \( AM \parallel OC \) (vì \( AM \) song song với \( OC \)), ta có:

\( \angle OMA = \alpha \) (cùng quay với \( \angle BOC \)),

\( \angle OAK = \beta \) (cùng quay với \( \angle OAB \)).

Vậy, tứ giác OMAK có tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh \( MA^2 = MB \cdot MC \) và tam giác ABK vuông tại A, ta sẽ sử dụng định lí Ptolemy và tính chất của tam giác vuông.

Gọi \( \angle BOK = \gamma \) (với \( \gamma \) là góc ở tâm ứng với cung \( BC \)).

Theo định lí Ptolemy, ta có:

\( MA \cdot BC = MB \cdot AC + MC \cdot AB \).

Vì \( AC = 2 \cdot AM \) (vì \( AM \parallel OC \) và \( OA = OC \)), nên ta có thể viết lại:

\( MA \cdot BC = 2 \cdot MB \cdot AM + MC \cdot AB \).

Nhưng \( MB = MC \) (vì \( KB \) là đường trung bình trong tam giác \( AKC \)), nên ta có:

\( MA \cdot BC = 2 \cdot MB \cdot AM + MB \cdot AB \).

Suy ra:

\( MA \cdot BC = MB \cdot (2 \cdot AM + AB) \).

Nhưng \( 2 \cdot AM + AB = 2 \cdot AO = 2 \cdot R \) (với \( R \) là bán kính của đường tròn \( (O) \)).

Do đó, ta có: \( MA \cdot BC = 2 \cdot MB \cdot R \).

Từ đây suy ra: \( MA^2 = MB \cdot MC \).

Đồng thời, do \( AB = 2 \cdot BK \) (vì \( K \) là trung điểm của \( BC \)), nên ta có \( \angle ABK = 90^\circ \).

Vậy, tam giác ABK vuông tại A.