Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Để chứng minh tam giác $ DEC $ vuông và tứ giác $ AEHC $ nội tiếp:

Ta có các tính chất sau:
- Tam giác $ DEC $ vuông tại $ D $: Vì $ AC $ là tiếp tuyến của đường tròn $ (O) $, nên góc $ DCE $ là góc vuông (do góc ở ngoài tiếp điểm là góc vuông).
- Tứ giác $ AEHC $ nội tiếp: Vì $ AC $ là tiếp tuyến của đường tròn $ (O) $, nên góc $ AEC $ là góc nhọn, do đó $ AEHC $ là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh $ F $ là trung điểm của $ AH $:

Theo định lí Pappus, ta có $ (O) $ là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $ AEHC $, nên tâm $ O $ của $ (O) $ là trung điểm của $ AE $ và $ CH $. Khi đó, do $ BE $ là đường kính của $ (O) $, nên $ BE $ đi qua tâm $ O $ và là trung trực của $ AH $. Do đó, $ F $ là trung điểm của $ AH $.

c) Để chứng minh $ IH \cdot LA = IA \cdot LH $:

Theo định lí Pappus, ta có $ (O) $ là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $ AEHC $, nên tâm $ O $ của $ (O) $ là trung điểm của $ AE $ và $ CH $. Khi đó, ta có:
\[ IA = IE \] (vì $ IE $ là bán kính của $ (O) $) và
\[ LH = LC \] (vì $ LC $ là bán kính của $ (O) $).

Vì $ OI $ là đường trung tuyến của tam giác $ AHC $, nên theo định lí Euclid, ta có $ IO $ song song với $ AH $, do đó $ \angle IHA = \angle IAO $.

Từ các quan sát trên, ta có thể viết:
\[ IH \cdot LA = LC \cdot IA = LH \cdot IA \]
\[ = LH \cdot IE \]
\[ = LH \cdot IC \]
\[ = LH \cdot AL \]

Vậy, ta có $ IH \cdot LA = LH \cdot AL $.

...Xem thêm

Answer 2

a) Để chứng minh tam giác $ DEC $ vuông và tứ giác $ AEHC $ nội tiếp:

Ta có các tính chất sau:
- Tam giác $ DEC $ vuông tại $ D $: Vì $ AC $ là tiếp tuyến của đường tròn $ (O) $, nên góc $ DCE $ là góc vuông (do góc ở ngoài tiếp điểm là góc vuông).
- Tứ giác $ AEHC $ nội tiếp: Vì $ AC $ là tiếp tuyến của đường tròn $ (O) $, nên góc $ AEC $ là góc nhọn, do đó $ AEHC $ là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh $ F $ là trung điểm của $ AH $:

Theo định lí Pappus, ta có $ (O) $ là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $ AEHC $, nên tâm $ O $ của $ (O) $ là trung điểm của $ AE $ và $ CH $. Khi đó, do $ BE $ là đường kính của $ (O) $, nên $ BE $ đi qua tâm $ O $ và là trung trực của $ AH $. Do đó, $ F $ là trung điểm của $ AH $.

c) Để chứng minh $ IH \cdot LA = IA \cdot LH $:

Theo định lí Pappus, ta có $ (O) $ là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $ AEHC $, nên tâm $ O $ của $ (O) $ là trung điểm của $ AE $ và $ CH $. Khi đó, ta có:
\[ IA = IE \] (vì $ IE $ là bán kính của $ (O) $) và
\[ LH = LC \] (vì $ LC $ là bán kính của $ (O) $).

Vì $ OI $ là đường trung tuyến của tam giác $ AHC $, nên theo định lí Euclid, ta có $ IO $ song song với $ AH $, do đó $ \angle IHA = \angle IAO $.

Từ các quan sát trên, ta có thể viết:
\[ IH \cdot LA = LC \cdot IA = LH \cdot IA \]
\[ = LH \cdot IE \]
\[ = LH \cdot IC \]
\[ = LH \cdot AL \]

Vậy, ta có $ IH \cdot LA = LH \cdot AL $.

Answer 3

Giải bài toán

a) Chứng minh tam giác DEC vuông và tứ giác AEHC nội tiếp:

* Do AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\angle OAB = \angle OAC = 90^0$.

* Tứ giác ABOC nội tiếp (góc tạo bởi hai tiếp tuyến bằng nhau).

* $\angle BOC = \angle AOB = 90^0$ (góc đối diện trong tứ giác nội tiếp).

* $\Rightarrow \angle DEC = 90^0$ (góc đối đỉnh).

Vậy tam giác DEC vuông.

* Do $\angle AEC = \angle AEB = 90^0$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến) nên tứ giác AEHC nội tiếp.

b) Chứng minh F là trung điểm của AH:

* Do $\angle BFC = \angle AEB = 90^0$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến) nên $\triangle BFC \sim \triangle AEB$ (g-g).

* $\Rightarrow \dfrac{BF}{AE} = \dfrac{FC}{EB}$

* Do $\angle AEF = \angle CEB$ (góc nội tiếp) nên $\triangle AEF \sim \triangle CEB$ (g-g).

* $\Rightarrow \dfrac{AE}{BE} = \dfrac{EF}{FC}$

* $\Rightarrow \dfrac{BF}{AE}.\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{EF}{FC}.\dfrac{FC}{BE}$

* $\Rightarrow \dfrac{BF}{BE} = \dfrac{EF}{BE}$

* $\Rightarrow BF = EF$

Tương tự, ta có $AF = HF$.

Vậy $F$ là trung điểm của $AH$.

c) Chứng minh IH.LA = IA.LH:

* Do $CD$ là đường kính nên $\angle CED = 90^0$.

* Tứ giác $CEHD$ nội tiếp (góc tạo bởi tiếp tuyến và góc đối đỉnh).

* $\Rightarrow \angle CHE = \angle CED = 90^0$.

* $\Rightarrow \triangle CHE \sim \triangle AHC$ (g-g).

* $\Rightarrow \dfrac{HE}{HC} = \dfrac{AC}{AH}$

* $\Rightarrow HE.AH = HC.AC$

Tương tự, ta có $IL.AH = IA.LC$.

Cộng hai đẳng thức trên, ta có:

$HE.AH + IL.AH = HC.AC + IA.LC$

$\Rightarrow (HE + IL).AH = IA.(HC + LC)$

$\Rightarrow IH.AH = IA.LH$