Để tìm các hệ số \(a\) và \(b\) của hàm số \(y = ax + b\) biết rằng đồ thị của nó và parabol \(y = x^2\) có đúng một điểm chung và hoành độ của điểm chung đó bằng 1, chúng ta có thể sử dụng điều kiện này để tạo ra một hệ phương trình.

Điểm chung của đồ thị của hai hàm số là điểm mà cả hai đồ thị đều chứa. Để tìm điểm này, ta sẽ giải hệ phương trình bao gồm cả hai hàm số:

\[ \begin{cases} y = ax + b \\ y = x^2 \end{cases} \]

Do ta đã biết rằng hoành độ của điểm chung là 1, ta có thể thay \(x\) bằng 1 vào phương trình \(y = x^2\) để tìm tung độ của điểm chung:

\[ y = (1)^2 = 1 \]

Vậy tung độ của điểm chung là 1.

Bây giờ, thay \(x = 1\) vào phương trình \(y = ax + b\) để tìm giá trị của \(a\) và \(b\):

\[ y = a(1) + b = a + b \]

Nhưng chúng ta biết rằng tung độ của điểm chung là 1. Do đó, ta có phương trình:

\[ a + b = 1 \]

Đây là phương trình đầu tiên trong hệ phương trình.

Bây giờ, ta cần tìm điểm chung của hai đồ thị. Điểm này cũng thỏa mãn phương trình \(y = ax + b\), nên ta có thể kết hợp nó với parabol \(y = x^2\). Điều này có nghĩa là ta cũng có thể thay \(x\) bằng 1 vào parabol để tìm \(y\) và sau đó thay vào phương trình \(a + b = 1\):

\[ y = (1)^2 = 1 \]

Vậy tung độ của điểm chung là 1.

Giờ, ta có thể thay \(x = 1\) vào parabol \(y = x^2\) để tìm tung độ của điểm chung:

\[ y = (1)^2 = 1 \]

Điều này có nghĩa là tung độ của điểm chung là 1.

Như vậy, ta có điểm chung là (1, 1), điều này có nghĩa là \(y = ax + b\) và \(y = x^2\) gặp nhau tại điểm này.

Tiếp theo, để tìm \(a\) và \(b\), ta sẽ giải hệ phương trình:

\[ \begin{cases} a + b = 1 \\ a + b = 1 \end{cases} \]

Vì cả hai phương trình giống nhau, ta chỉ cần giải một trong chúng:

\[ a + b = 1 \]

Giờ ta có thể chọn một giá trị cho \(a\) hoặc \(b\) và sau đó tính toán giá trị còn lại. Ví dụ, nếu chúng ta giả sử \(a = 0\), ta có:

\[ 0 + b = 1 \]

\[ b = 1 \]

Vậy \(a = 0\) và \(b = 1\) là một cặp giá trị của \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện. Tuy nhiên, nếu bạn chọn \(a = 1\), ta cũng sẽ nhận được \(b = 0\).

Vậy, có hai cặp giá trị \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện đề bài là:

1. \(a = 0\), \(b = 1\)
2. \(a = 1\), \(b = 0\)

Đây là hai cặp giá trị mà hàm số \(y = ax + b\) và parabol \(y = x^2\) có đúng một điểm chung với hoành độ là 1.

Để giải phương trình \(a + b = 1\) và xác định điều kiện cho \(a\), ta cần sử dụng thông tin về việc đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) và \(y = x^2\) có duy nhất một điểm chung. Điều này đồng nghĩa với việc phương trình \(ax + b = x^2\) chỉ có một nghiệm.

Ta có:

\[
ax + b = x^2
\]

Để phương trình này có duy nhất một nghiệm, ta cần đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Phương trình trên phải là một phương trình bậc hai (để chỉ có một điểm chung).
2. Điểm chung phải có hoành độ là 1.

Xét điều kiện thứ nhất:
- Nếu \(a = 0\), phương trình trở thành \(b = x^2\), là một đường cong parabol mở lên, không thể chỉ có một điểm chung với đường thẳng \(y = x^2\).
- Nếu \(a \neq 0\), phương trình sẽ là một phương trình bậc hai.

Vì điều kiện 1, \(a \neq 0\).

Kết hợp với điều kiện 2, ta có:

\[
a(1) + b = (1)^2
\]
\[
a + b = 1
\]

Bây giờ, giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
a + b = 1 \\
a \neq 0
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ nhất, ta có \(b = 1 - a\). Thay vào phương trình thứ hai:

\[
a + (1 - a) = 1
\]
\[
1 = 1
\]

Điều này cho thấy hệ phương trình đã được giải đúng.

Vậy, ta đã tìm được hệ số \(a\) và \(b\):
- \(a = 1\)
- \(b = 1 - a = 0\)

Do đó, hàm số là \(y = x\).