Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M;N là hai tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứa điểm M vẽ cát tuyến ABC với đường tròn (O) ( AB < AC BC không đi qua 0). Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh các tứ giác AMON; AMIO nội tiếp

Question

VietJack · Accepted Answer

a) Tứ giác AMON nội tiếp:

Cách 1:

Gọi H là giao điểm của AO và MN.

Ta có:

AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến)
^HAM = ^HAN (góc chung)
^AMH = ^ANH (góc nội tiếp cùng chắn cung MN)
Do đó:

∆AMH ≅ ∆ANH (g.c.g)
⇒ MH = NH (cạnh tương ứng)
Suy ra: H là trung điểm của MN.

Mặt khác:

OA là đường trung trực của MN (H là trung điểm, O là giao điểm của hai đường phân giác)
OA ⊥ MN (tính chất tiếp tuyến)
Do đó: AO là đường cao của ∆AMN.

⇒ ∆AMN nội tiếp (đường cao đi qua đỉnh).

Cách 2:

Sử dụng định lý Thales.

Ta có:

AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến)
AO là đường phân giác trong của ^MAN (góc chung)
Do đó:

AO/AM = AO/AN
⇒ MO/MN = NO/MN
Suy ra: MO = NO.

Mặt khác:

AM, AN là hai tiếp tuyến
O là giao điểm của AM, AN
Do đó: O là trung điểm của MN.

⇒ ∆AMN nội tiếp (đường phân giác trong đi qua đỉnh).

b) Tứ giác AMIO nội tiếp:

Ta có:

^AMO = 90° (tính chất tiếp tuyến)
^MIO = 90° (góc nội tiếp chắn nửa cung MI)
Do đó:

^AMO + ^MIO = 180°
Suy ra: Tứ giác AMIO nội tiếp (tổng hai góc đối nhau bằng 180°).

VietJack · Answer

Chứng minh:a) Tứ giác AMON nội tiếp: Cách 1: Gọi H là giao điểm của AO và MN. Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến)^HAM = ^HAN (góc chung)^AMH = ^ANH (góc nội tiếp cùng chắn cung MN)Do đó: ∆AMH ≅ ∆ANH (g.c.g)⇒ MH = NH (cạnh tương ứng)Suy ra: H là trung điểm của MN. Mặt khác: OA là đường trung trực của MN (H là trung điểm, O là giao điểm của hai đường phân giác)OA ⊥ MN (tính chất tiếp tuyến)Do đó: AO là đường cao của ∆AMN. ⇒ ∆AMN nội tiếp (đường cao đi qua đỉnh). Cách 2: Sử dụng định lý Thales. Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến)AO là đường phân giác trong của ^MAN (góc chung)Do đó: AO/AM = AO/AN⇒ MO/MN = NO/MNSuy ra: MO = NO. Mặt khác: AM, AN là hai tiếp tuyếnO là giao điểm của AM, ANDo đó: O là trung điểm của MN. ⇒ ∆AMN nội tiếp (đường phân giác trong đi qua đỉnh). b) Tứ giác AMIO nội tiếp: Ta có: ^AMO = 90° (tính chất tiếp tuyến)^MIO = 90° (góc nội tiếp chắn nửa cung MI)Do đó: ^AMO + ^MIO = 180°Suy ra: Tứ giác AMIO nội tiếp (tổng hai góc đối nhau bằng 180°). Lưu ý: Hai cách chứng minh tứ giác AMON nội tiếp đều sử dụng kiến thức về đường tròn và tam giác.Cách 1 sử dụng tính chất đường trung trực và đường cao của tam giác.Cách 2 sử dụng định lý Thales và tính chất đường phân giác trong của tam giác.Cả hai cách đều có thể áp dụng để giải bài toán này. Chúc bạn học tốt!

2 câu trả lời 817

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9