Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
...

Answer 2

Để chứng minh rằng nếu \( \frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a} \) và \( c+d \neq 0 \) thì \( a=c \) và \( a+b+c+d = 0 \), ta sẽ thực hiện như sau:

1. Bắt đầu từ giả thiết:
\[ \frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a} \]

2. Nhân hai vế của phương trình với \( (b+c)(d+a) \) ta được:
\[ (a+b)(d+a) = (c+d)(b+c) \]

3. Mở ngoặc và rút gọn ta có:
\[ ad + a^2 + bd + ab = bc + bd + cd + c^2 \]
\[ a^2 + ab + ad = bc + bd + cd + c^2 \]
\[ a^2 + (a-c)b - bc = (c+d)c - ad \]
\[ a^2 + (a-c)b - bc = c^2 + cd - ad \]

4. Đặt \( x = a-c \), ta được:
\[ x^2 + xb - bc = c^2 + cd - (x+c)d \]

5. Chia cả hai vế cho \( x-c \) (lưu ý \( x \neq c \)), ta có:
\[ x + b = d \]

6. Từ \( x = a-c \), suy ra \( a = x + c = d + c = d + a - b \), nghĩa là \( b = 0 \).

7. Thay \( b = 0 \) vào phương trình \( x + b = d \), ta có \( x = d \).

8. Từ \( x = d \), suy ra \( a = d + c \).

9. Tổng \( a+b+c+d \) là:
\[ (d+c) + 0 + c + d = 2d + 2c = 2(d+c) \]

10. Vì \( c+d \neq 0 \), nên \( d+c \neq 0 \). Nhưng \( 2(d+c) \) không thể bằng 0. Do đó, giả thiết ban đầu không thể đúng.

Vậy, nếu \( \frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a} \) và \( c+d \neq 0 \), thì \( a=c \) và \( a+b+c+d = 0 \).

...Xem thêm

Answer 3