Để tính giới hạn của dãy số \(1 + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \ldots + \frac{1}{2^{n^2}}\), chúng ta có thể nhận thấy rằng dãy này là một dãy cấp số nhân với tỷ số là \(\frac{1}{4}\) giữa các thành phần.

Ta có thể viết lại dãy số này dưới dạng tổng của một cấp số nhân có công thức tổng quát như sau:

\[S_n = 1 + \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \ldots + \frac{1}{2^{n^2}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{2^{n^2}} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^{k^2}}\]

Đây là một dãy số không thuần nhất, nghĩa là không có công thức đóng để tính tổng của dãy này khi \(n\) tiến về vô cùng.