Chm OA là trung trực của CD

Xét tam giác ACD, ta có:∠CAD=90∘−∠AOC=90∘−∠AOC=90∘ (tính chất tiếp tuyến)
∠COD=180∘−∠AOC−∠CAD=180∘−90∘−90∘=0∘ (tính chất góc ngoài tam giác)
Suy ra: ∠AOC=∠COD=45∘
Do đó, tam giác AOC cân tại O
Mà O là tâm đường tròn, suy ra OA là đường trung trực của CD
b) Chm AD là tiếp tuyến của (O)

Xét tam giác OAD, ta có:∠OAD=90∘−∠AOD=90∘−90∘=0∘ (tính chất góc ngoài tam giác)
Suy ra: ∠AOD=90∘
Do đó, AD là tiếp tuyến của (O)
c) Gọi M là giao điểm của đoạn thẳng AO và (O). Chm M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ACD

Xét tam giác ACD, ta có:∠ACD=90∘ (tính chất tiếp tuyến)
∠CAD=90∘ (tính chất đường trung trực)
Suy ra: ∠ADC=180∘−∠ACD−∠CAD=180∘−90∘−90∘=0∘
Do đó, tam giác ADC là tam giác đều
Mà tam giác đều có tâm đường tròn nội tiếp là tâm của tam giác đều
Suy ra, M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ACD
d) Vẽ đường kính DE của (O), vẽ CH vuông góc với DE tại H. Gọi I là trung điểm của CH. Chm A,I,E thẳng hàng

Xét tam giác ACD, ta có:∠CAD=90∘ (tính chất tiếp tuyến)
∠ACD=90∘ (tính chất đường trung trực)
Suy ra: ∠ADC=180∘−∠ACD−∠CAD=180∘−90∘−90∘=0∘
Do đó, tam giác ADC là tam giác đều
Mà tam giác đều có ba đường cao bằng nhau
Suy ra, CH là đường cao của tam giác ADC
Mà I là trung điểm của CH
Do đó, I là trung điểm của đường cao của tam giác đều ADC
Mà tam giác đều có ba đường cao đồng quy tại trọng tâm
Suy ra, I là trọng tâm của tam giác ADC
Mà trọng tâm của tam giác đều nằm trên đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác đều
Suy ra, I nằm trên đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác ABC
Mà E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Do đó, đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác ABC đi qua E
Suy ra, A,I,E thẳng hàng

Chm OA là trung trực của CD

Xét tam giác ACD, ta có:∠CAD=90∘−∠AOC=90∘−∠AOC=90∘ (tính chất tiếp tuyến)
∠COD=180∘−∠AOC−∠CAD=180∘−90∘−90∘=0∘ (tính chất góc ngoài tam giác)
Suy ra: ∠AOC=∠COD=45∘
Do đó, tam giác AOC cân tại O
Mà O là tâm đường tròn, suy ra OA là đường trung trực của CD
b) Chm AD là tiếp tuyến của (O)

Xét tam giác OAD, ta có:∠OAD=90∘−∠AOD=90∘−90∘=0∘ (tính chất góc ngoài tam giác)
Suy ra: ∠AOD=90∘
Do đó, AD là tiếp tuyến của (O)
c) Gọi M là giao điểm của đoạn thẳng AO và (O). Chm M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ACD

Xét tam giác ACD, ta có:∠ACD=90∘ (tính chất tiếp tuyến)
∠CAD=90∘ (tính chất đường trung trực)
Suy ra: ∠ADC=180∘−∠ACD−∠CAD=180∘−90∘−90∘=0∘
Do đó, tam giác ADC là tam giác đều
Mà tam giác đều có tâm đường tròn nội tiếp là tâm của tam giác đều
Suy ra, M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ACD
d) Vẽ đường kính DE của (O), vẽ CH vuông góc với DE tại H. Gọi I là trung điểm của CH. Chm A,I,E thẳng hàng

Xét tam giác ACD, ta có:∠CAD=90∘ (tính chất tiếp tuyến)
∠ACD=90∘ (tính chất đường trung trực)
Suy ra: ∠ADC=180∘−∠ACD−∠CAD=180∘−90∘−90∘=0∘
Do đó, tam giác ADC là tam giác đều
Mà tam giác đều có ba đường cao bằng nhau
Suy ra, CH là đường cao của tam giác ADC
Mà I là trung điểm của CH
Do đó, I là trung điểm của đường cao của tam giác đều ADC
Mà tam giác đều có ba đường cao đồng quy tại trọng tâm
Suy ra, I là trọng tâm của tam giác ADC
Mà trọng tâm của tam giác đều nằm trên đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác đều
Suy ra, I nằm trên đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác ABC
Mà E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Do đó, đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác ABC đi qua E
Suy ra, A,I,E thẳng hàng