Chứng minh CM là đường chéo của tứ giác ABCD và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Ta biết M là trung điểm của BD, theo giả thiết M cũng là trung điểm của AC.
Suy ra, CM là đường chéo của tứ giác ABCD và chia tứ giác này thành hai tam giác bằng nhau. Vì tam giác ABD vuông tại A nên mặt khác, theo tính chất đối xứng qua trung điểm, AD // BC và AB // CD. Vậy ABCD là hình chữ nhật.

**b.** Trên tia đối của tia DA lấy E sao cho DA=DE. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh ID = IE.

Ta biết tam giác ADE cân tại D nên ∠DAE = ∠DEA. Vì ABCD là hình chữ nhật nên ∠CDA = 90 độ.

Vậy ∠DEA = 90 độ - ∠DAE. Vì I là trung điểm của CD nên DI = DC/2 = AD/2. Đặt DA = a. Vậy DI = a/2.

Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác ADE ta có:

DE^2 = DA^2 + AE^2 = 2a^2.

Từ đó, AE = a√2.

Suy ra, IE = AE - a = a(√2 - 1).

Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác AID ta có:

AI^2 = AD^2 + DI^2 = a^2 + (a/2)^2 = 5a^2/4.

Suy ra, AI = a√5/2.

Vì AI là đường cao của tam giác ADE nên:

AI/DE = 2a√2/2a = √2.

Suy ra, ID = AI - DI = a(√5/2 - 1/2).

Vậy, ID = IE.

c. Kẻ AH vuông góc với BD. Lấy K sao cho H là trung điểm của AK. Chứng minh tứ giác BDCK là hình thang cân.

Vì H là trung điểm của AK nên AH = HK.

Vì AH ⊥ BD và ABCD là hình chữ nhật nên CK // BD và CK // AD.

Vậy BDCK là hình thang và có AH = HK. Vì AH ⊥ BD nên KH là đoạn cao từ H đến BD.

Do BD là đường trung bình của tam giác ABC nên BH = 1/2 AB.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BD = √(AB^2 + AD^2).

Từ AH và BH, ta có:

HK^2 + KB^2 = BH^2.

Tương tự, ta cũng có:

HK^2 + KD^2 = DH^2.

Do đó, KB = KD.

Như vậy, BDCK là hình thang cân.