Giả sử đường thẳng trung trực của \(CN\) cắt \(AB\) tại \(M\). Ta cần chứng minh rằng tam giác \(CMN\) là tam giác vuông cân.

Ta có \(ABC\) là một tam giác vuông cân tại \(A\). Vì vậy, ta có \(AB = AC\) và \(\angle ACB = 90^\circ\).

Ta cũng có \(BCD\) là một tam giác vuông cân tại \(B\). Vì vậy, ta có \(BD = BC\) và \(\angle BCD = 90^\circ\).

Vì \(AB = AC\), ta có thể vẽ đường thẳng \(AE\) sao cho \(AE\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) và \(E\) là điểm trên \(BC\).

Đặt \(X\) là giao điểm của \(CN\) và \(AE\).

Do đường \(AE\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\), ta có \(XE = XC\). (1)

Vì \(BCD\) là một tam giác vuông cân tại \(B\), ta có \(BC = BD\), do đó tam giác \(BCD\) cũng là một tam giác cân. Vì vậy, \(BC\) là đường trung tuyến của tam giác \(BCD\) và \(H\) là điểm trên \(BD\) sao cho \(DH\) là đường trung tuyến của tam giác \(BCD\).

Do tam giác \(BCD\) là tam giác vuông cân, ta có \(DH = \frac{1}{2} BD\). (2)

Do đó, ta có \(BH = BD - DH = BD - \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} BD\). (3)

Từ (1) và (3), ta có \(BH = XC\).

Vì vậy, ta có \(BH = XC\) và \(\angle HBC = \angle XCB\). Từ đó, ta suy ra rằng tam giác \(HBC\) và \(XCB\) là hai tam giác đồng dạng.

Do đó, ta có \(\angle HCB = \angle XBC\).

Từ \(\angle HCB = \angle XBC\) và \(\angle BCD = 90^\circ\), ta có \(\angle BXM = \angle CNM\).

Vì thế, ta có \(\angle BXM = \angle CNM\).

Vì \(AB = AC\), ta có \(\angle CBA = \angle CAB\). (4)

Từ (2) và (4), ta có \(\angle BXM = \angle CNM = \angle CBA\).

Vậy ta suy ra rằng tam giác \(CMN\) là một tam giác vuông cân.