Giả sử đường thẳng trung trực của $CN$ cắt $AB$ tại $M$. Ta cần chứng minh rằng tam giác $CMN$ là tam giác vuông cân.

Ta có $ABC$ là một tam giác vuông cân tại $A$. Vì vậy, ta có $AB = AC$ và $\angle ACB = 90^\circ$.

Ta cũng có $BCD$ là một tam giác vuông cân tại $B$. Vì vậy, ta có $BD = BC$ và $\angle BCD = 90^\circ$.

Vì $AB = AC$, ta có thể vẽ đường thẳng $AE$ sao cho $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm trên $BC$.

Đặt $X$ là giao điểm của $CN$ và $AE$.

Do đường $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$, ta có $XE = XC$. (1)

Vì $BCD$ là một tam giác vuông cân tại $B$, ta có $BC = BD$, do đó tam giác $BCD$ cũng là một tam giác cân. Vì vậy, $BC$ là đường trung tuyến của tam giác $BCD$ và $H$ là điểm trên $BD$ sao cho $DH$ là đường trung tuyến của tam giác $BCD$.

Do tam giác $BCD$ là tam giác vuông cân, ta có $DH = \frac{1}{2} BD$. (2)

Do đó, ta có $BH = BD - DH = BD - \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} BD$. (3)

Từ (1) và (3), ta có $BH = XC$.

Vì vậy, ta có $BH = XC$ và $\angle HBC = \angle XCB$. Từ đó, ta suy ra rằng tam giác $HBC$ và $XCB$ là hai tam giác đồng dạng.

Do đó, ta có $\angle HCB = \angle XBC$.

Từ $\angle HCB = \angle XBC$ và $\angle BCD = 90^\circ$, ta có $\angle BXM = \angle CNM$.

Vì thế, ta có $\angle BXM = \angle CNM$.

Vì $AB = AC$, ta có $\angle CBA = \angle CAB$. (4)

Từ (2) và (4), ta có $\angle BXM = \angle CNM = \angle CBA$.

Vậy ta suy ra rằng tam giác $CMN$ là một tam giác vuông cân.