Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số công thức và tính chất cơ bản về tam giác vuông.

1. Tính HB và HC:
- Vì I là trung điểm của AB, ta có AI = IB. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB, ta có:
AH^2 = AB^2 - HB^2
AH^2 = 2IB^2 - HB^2
AH^2 = 2(AI^2) - HB^2
AH^2 = 2(9^2) - HB^2
AH^2 = 162 - HB^2

- Tương tự, ta có AK = KC. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHC, ta có:
AH^2 = AC^2 - HC^2
AH^2 = 2KC^2 - HC^2
AH^2 = 2(AK^2) - HC^2
AH^2 = 2(12^2) - HC^2
AH^2 = 288 - HC^2

- Khi đó, ta có hệ phương trình:
AH^2 = 162 - HB^2
AH^2 = 288 - HC^2

Từ đó suy ra:
162 - HB^2 = 288 - HC^2

Vì HB = HC (vì đường cao AH là đường cao, nên HB = HC), nên ta có:
162 - HB^2 = 288 - HB^2
162 = 288
HB = HC = 9

2. Tính AH:
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB, ta có:
HB^2 + AH^2 = AB^2
9^2 + AH^2 = 18^2
81 + AH^2 = 324
AH^2 = 324 - 81
AH^2 = 243
AH = √243
AH = 3√3

3. Tính diện tích tứ giác AIHK:
- Diện tích tứ giác AIHK có thể tính bằng phép cộng hai diện tích tam giác AIH và tam giác KIH.
- Diện tích tam giác AIH = (1/2) * IH * AH = (1/2) * 9 * 3√3 = 13.5√3
- Diện tích tam giác KIH = (1/2) * KH * IH = (1/2) * 12 * 9 = 54

- Diện tích tứ giác AIHK = Diện tích tam giác AIH + Diện tích tam giác KIH
= 13.5√3 + 54
≈ 108.5 cm^2

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số công thức và tính chất cơ bản về tam giác vuông.

1. Tính HB và HC:
- Vì I là trung điểm của AB, ta có AI = IB. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB, ta có:
AH^2 = AB^2 - HB^2
AH^2 = 2IB^2 - HB^2
AH^2 = 2(AI^2) - HB^2
AH^2 = 2(9^2) - HB^2
AH^2 = 162 - HB^2

- Tương tự, ta có AK = KC. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHC, ta có:
AH^2 = AC^2 - HC^2
AH^2 = 2KC^2 - HC^2
AH^2 = 2(AK^2) - HC^2
AH^2 = 2(12^2) - HC^2
AH^2 = 288 - HC^2

- Khi đó, ta có hệ phương trình:
AH^2 = 162 - HB^2
AH^2 = 288 - HC^2

Từ đó suy ra:
162 - HB^2 = 288 - HC^2

Vì HB = HC (vì đường cao AH là đường cao, nên HB = HC), nên ta có:
162 - HB^2 = 288 - HB^2
162 = 288
HB = HC = 9

2. Tính AH:
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB, ta có:
HB^2 + AH^2 = AB^2
9^2 + AH^2 = 18^2
81 + AH^2 = 324
AH^2 = 324 - 81
AH^2 = 243
AH = √243
AH = 3√3

3. Tính diện tích tứ giác AIHK:
- Diện tích tứ giác AIHK có thể tính bằng phép cộng hai diện tích tam giác AIH và tam giác KIH.
- Diện tích tam giác AIH = (1/2) * IH * AH = (1/2) * 9 * 3√3 = 13.5√3
- Diện tích tam giác KIH = (1/2) * KH * IH = (1/2) * 12 * 9 = 54

- Diện tích tứ giác AIHK = Diện tích tam giác AIH + Diện tích tam giác KIH
= 13.5√3 + 54
≈ 108.5 cm^2