Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và lớn nhất (BTLN) của biểu thức A = |x-10| + |x-50| + |x-40| + |x-2023|, chúng ta có thể áp dụng các quy tắc về giá trị tuyệt đối và so sánh các giá trị của x.

Đầu tiên, chúng ta cần phân tích căn cứ vào giá trị của x để xác định các phạm vi giá trị của từng đại lượng tổng hợp trong biểu thức.

1. Khi x < 10:

   - |x-10| = -(x-10) = -x + 10

   - |x-50| = -(x-50) = -x + 50

   - |x-40| = -(x-40) = -x + 40

   - |x-2023| = -(x-2023) = -x + 2023

   Vì các giá trị trong biểu thức đều là các đại lượng âm khi x < 10, nên ta có A = (-x + 10) + (-x + 50) + (-x + 40) + (-x + 2023) = -4x + 2123.

2. Khi 10 <= x < 40:

   - |x-10| = x-10

   - |x-50| = -(x-50) = -x + 50

   - |x-40| = -(x-40) = -x + 40

   - |x-2023| = -(x-2023) = -x + 2023

   Do đó, ta có A = (x-10) + (-x + 50) + (-x + 40) + (-x + 2023) = -3x + 2103.

3. Khi 40 <= x < 50:

   - |x-10| = x-10

   - |x-50| = x-50

   - |x-40| = -(x-40) = -x + 40

   - |x-2023| = -(x-2023) = -x + 2023

   Vậy, ta có A = (x-10) + (x-50) + (-x + 40) + (-x + 2023) = -2x + 2003.

4. Khi 50 <= x < 2023:

   - |x-10| = x-10

   - |x-50| = x-50

   - |x-40| = x-40

   - |x-2023| = -(x-2023) = -x + 2023

   Chúng ta có A = (x-10) + (x-50) + (x-40) + (-x + 2023) = 2x + 1923.

5. Khi x >= 2023:

   - |x-10| = x-10

   - |x-50| = x-50

   - |x-40| = x-40

   - |x-2023| = x-2023

   Vì đã bỏ dấu tuyệt đối, các giá trị sẽ được tính trực tiếp và không thay đổi.

Vậy, để tìm GTNN và BTLN của biểu thức A, chúng ta cần so sánh giá trị của A trong các phạm vi x được nêu trên:

- Khi x < 10: A = -4x + 2123, không có giới hạn dưới và giới hạn trên.

- Khi 10 <= x < 40: A = -3x + 2103, GTNN = 2103 - 3(39) = 2026, BTLN = 2103 - 3(10) = 2073.

- Khi 40 <= x < 50: A = -2x + 2003, GTNN = 2003 - 2(49) = 1905, BTLN = 2003 - 2(40) = 1923.

- Khi 50 <= x < 2023: A = 2x + 1923, GTNN = 1923 - 2(2022) = -3121, BTLN = 1923 - 2(50) = 1823.

- Khi x >= 2023: A = 2x + 1923, không có giới hạn dưới và giới hạn trên.

Vậy, GTNN và BTLN của biểu thức A là:

- GTNN = -3121 trong khoảng 50 <= x < 2023.

- BTLN = 2073 trong k